题解 P3799 【妖梦拼木棒】

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知识点:组合数学/暴力枚举

• 题干:

  有 \(n\) 根木棒，
  Yoomu 现从中选 \(4\) 根，
  想要组成一个 正三角形 ，
  问有几种选法？

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• 分析题意 :

  由题干知 ,
  欲由 \(4\) 根木棒 , 组成一个正三角形 ,
  则必然有 两根 的 长度相同 ,
  且另外两根的长度和 ,
  等于前两根的 相等的木棒 的长度

  又发现 各木棍 的长度 \(a[i] \leqslant 5000\)
  则可以直接用 两层循环 ,
  暴力枚举 两种木棍 的长度

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• 感性理解:

  外层循环:

  • 先要从 许多长度为 \(i\) 的木棒 中取出两个 ,
    那么方案数为 :
    从 \(num[j]\) 个数中取出 \(2\) 个数的组合 ( 即\(C(num[j],2)\) )

  内层循环:

  • 然后要从 剩下的木棒中 中取出两个
    长度之和为 \(i\) 的木棒

    • 如果 \(j==i-j\) ,
      那么要从长度为 \(j\) 的木棒中取出 \(2\) 个
      那么方案数为:
      从 \(num[j]\) 个数中取出 \(2\) 个数的组合
      即\(C(num[j],2)\)

    • 如果\(j \ne i-j\)
      那么要从长度为 \(j\) 的木棒中取出 \(1\) 个
      再从长度为 \(i-j\) 的木棒中取出 \(1\) 个
      同理 , 那么方案数为:
      \(C(num[j],1) \times C(num[i-j],1)\)

  根据乘法原理 ，
  将所有方案数相乘 ,
  即得 \(ans\) 的变化量 .

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• 算法分析:

  用桶 \(num[i]\) ,
  记录 各长度为\(i\) 的木棒出现的次数

  外层循环:

  • 枚举两根相等的木棒的长度 \(i\) ,
    当此长度的木棒数量 \(\geqslant 2\) 时 ,
    进入内层循环

  内层循环:

  • 枚举一根用来 合成 的木棒长度 \(j\)
    另一根木棒的长度即为 \(i-j\).
    分两种情况进行讨论:

    • 1.如果 \((i==j \ ; \ num[j]\geqslant 1\ ;\ num[i-j]\geqslant 1)\) ,
      \(ans+=C(num[i] , 2) \times C(num[j] , 1)\times C(num[i-j] , 1)\)

    • 2.如果 \((j==i-j\ ;\ num[j] \geqslant 2)\)
      \(ans+= C(num[i],2) \times C(num[j],1)\)

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附 \(AC\) 代码 :

#include<cstdio>
#include<ctype.h>
#define int long long
#define max(a,b) a>b?a:b
//======================================================= 
const int MARX = 1e6+10;
const int mod = 1e9+7;
int n,ans,maxa;
int a[MARX],num[MARX];
//=======================================================
inline int read()
{
	int fl=1,w=0;char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch) && ch!='-') ch=getchar();
	if(ch=='-') fl=-1;
	while(isdigit(ch)){w=w*10+ch-'0',ch=getchar();}
	return fl*w;
}
inline int C(int x,int k)//求得从n个数中取出k个数的组合 
{
	return k==1?x:x*(x-1)/2;
}
//=======================================================
signed main()
{
	n=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)//读入,并放入桶中 
	  a[i]=read(),
	  maxa=max(a[i],maxa),
	  num[a[i]]++;
	  
	for(int i=2;i<=maxa;i++)//枚举两根相等的边 
	  if(num[i]>=2)
	    {
	      int times = C(num[i],2)%mod;//求出组合数 
	      for(int j=1;j<=i/2;j++)//枚举被合成的边(枚举到i/2即可)
	        {
	          if(j!=i-j && num[j]>=1 && num[i-j]>=1)//当用来合成的木棒长度不等 
	            ans=(ans + times*C(num[j],1)%mod*C(num[i-j],1)%mod)%mod;
			  if(j==i-j && num[j]>=2)//当用来合成的木棒长度相等 
			    ans=(ans + times*C(num[j],2))%mod;
			}
		}
	
	printf("%lld",ans%mod);
}

完成了这篇题解 , 车万众信仰\(++\)

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