题解 P3800 【Power收集】

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知识点 : \(DP\) 优化 , 单调队列

• 题意:

  有一个 \((N\times M)\) 大小的矩阵
  部分矩阵中的点 带有价值
  可以选择第一行 , 任何一个位置作为起点 .

  对于当前的位置 \((i,j)\) (表示在第 \(i\) 行第 \(j\) 列)
  可以转移到: \((i+1,\ [j-T , j+T]\ )\) 中任意一个点 \((j-T>0\ ,\ j+t\leqslant M)\)
  并且获得当前所在点的价值 .

  求 : 可以取得的 最大价值和

  样例解释:
  

  1.灵梦从 \((1,1)\)出发 : 总价值\(+3\) , 现在为 \(3\)
  2.灵梦转移到 \((2,2)\) : 总价值\(+3\) ,现在为 \(6\)
  3.灵梦转移到 \((3,3)\) : 总价值\(+3\) ,现在为 \(9\)
  故 , 总价值为 \(9\)

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• 分析题意:

  很显然 这是一道 \(DP\)
  状态转移方程 极其简单 :
  用 \(f[i][j]\) 表示在点 \((i,j)\) 能到达的最大价值和 ,
  则有: \(f[i][j] = max(f[i-1][k]) + v[i][j]\ ,\ (k\in [j-T , j+T]\ )\)

  • 暴力:
    直接枚举所有点 , 再枚举能转移到他的点 ?
    复杂度 \(O(N^3)\) 级别 ,
    \(40Pts\) 到手

  考虑优化 :

  • 可知:
    第 \(i\) 行上点的 \(f[][]\) , 只与第 \(i-1\) 行有关
    则可将每相邻的两行 , 单独拆分出来考虑 :

  如图:

  

  可以发现 :

  1. 转移到 点\((i,j)\) 的点 ,
     为 \(i-1\) 行 , 区间 \(\underline{[j-T,j+T]}\) 中 , \(f[][]\) 最大的点

  2. 转移到 点\((i,j+1)\) 的点 ,
     为 \(i-1\) 行 ,区间 \(\underline{[j-T+1,j+T+1]}\) 中 , \(f[][]\) 最大的点

  3. 转移到 点\((i,j+2)\) 的点 ,
     为 \(i-1\) 行 ,区间 \(\underline{[j-T+2,j+T+2]}\) 中 , \(f[][]\) 最大的点

  后两个区间 ,
  都可以通过 上一个区间 右移一个单位 得到
  这不禁让我们想到了另一道题 : P1886 滑动窗口
  如果您还未学习过单调队列 , 推荐这篇文章:
  【洛谷日报#9】 [Sweetlemon] 朝花中学OI队的奋斗历程——浅谈单调队列

  这种 滑动窗口型 最值问题 ,
  显然 , 可以通过 单调队列 来进行维护 .

  由上 , 我们便找到了一种合适 \(DP\) 优化方法: 单调队列优化.

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• 算法实现:

  假设,现在已经更新到第 \(i\) 行 :

  1. 先初始化单调队列 ,
     将能够更新 \((i,1)\) 的点\((i,k) , (k \in [1,1+T])\) ,
     加入单调队列
  2. 开始循环 , 更新 \([1,M]\) 中每一个点 :
     • 将能够转移到 \(j\) 的最右侧一个点 \((i-1 , j+T)\) , 加入队列
     • 使用单调队列找到能够转移到 \(j\) 的点的最大\(f[\ ][\ ]\)
     • 用最大的\(f[\ ][\ ]\) 更新 \(f[i][j]\)
  3. 清空单调队列 , 外层循环进入下一层 ,更新第 \(i+1\) 行

  最后找到最后一行中 ,
  最大的 \(f[N][j]\) ,
  即所求最值 .

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上代码:

由于使用了手写数组模拟队列 ,
清空时只需重置头尾指针 , 及队首元素即可 .
常数吊打 \(deque\)

#include<cstdio>
#include<ctype.h>
#include<cstring>
#define int long long
#define max(a,b) a>b?a:b
//=====================================
const int MARX = 4e3+10;
int n,m,k,t, now,ans;
int f[MARX][MARX];
int head=1,tail=1;//手写双端队列 
int q[MARX]={9223372036854775807};//为q[0]赋一个极大值,来防止插入元素时越界 
//=====================================
inline int read()
{
	int fl=1,w=0;char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch) && ch!='-') ch=getchar();
	if(ch=='-') fl=-1;
	while(isdigit(ch)){w=w*10+ch-'0',ch=getchar();}
	return fl*w;
}
void in(int x)//向单调队列中插入元素 
{
	while(f[now-1][x]>f[now-1][q[tail]] && tail>=head) 
	  tail--;//取出队尾小于插入元素的数 , 以保证单调性 
	q[++tail]=x;//插入队尾 
}
int find(int x)//查询元素 
{
	if(x+t<=m)in(x+t);//将能转移到x点 的 最后一个元素 x+t 插入队列 
	while(q[head]+t<x) head++;//找到队首第一个能够转移到x的点 
	return q[head]; 
}
//=====================================
signed main()
{
	n=read(),m=read(),k=read(),t=read();
	while(k--)
	{
	  int x=read(),y=read(),w=read();
	  f[x][y]=w;
	}
	
	for(now=2;now<=n;now++)//从第二行,开始转移 
	{
	  for(int i=1;i<=t;i++) in(i);//初始化单调队列 , 满足能够 转移j=1的点 
	  for(int j=1;j<=m;j++) f[now][j]+=f[now-1][find(j)];// 进行转移 
	  head=tail=1 , q[1]=0;//清空队列 
	}
	
	for(int i=1;i<=m;i++)//取得最大值 
	  ans=max(ans,f[n][i]);
	printf("%lld",ans);
}

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完成了这篇题解 , 东方众信仰 \(++\)