求组合数 II - 逆元求组合数

c++

886. 求组合数 II

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问题描述:
	886. 求组合数 II
	给定 n 组询问，每组询问给定两个整数 a，b，请你输出 Cbamod(109+7) 的值。

	输入格式
	第一行包含整数 n。

	接下来 n 行，每行包含一组 a 和 b。

	输出格式
	共 n 行，每行输出一个询问的解。

	数据范围
	1 ≤ n ≤ 10000,
	1 ≤ b ≤ a ≤ 10 ^ 5

解题思路:
	在原本求解过程中 C(a, b) = C(a - 1, b - 1) + C(a - 1, b) 然后利用动态规划的方法求解
	但是对于本题，数据范围过大，二维数组消耗不起。

	那么，我们从公式入手
		C(a, b) = (a * (a - 1) * (a - 2) * ... * (a - b + 1)) / (1 * 2 * ... * b)
		因为我们最终的结果需要 mod p, p = 1e9 + 7，我们可以求解 数字的逆元 来结果 除法的问题。

		由欧拉定理可知:
			a ^ (phi(p)) = 1 (mod p)，当 p 为质数时， phi(p) = p - 1.
		
		因此，可以使用快速幂的方法求解 inverse(x) = x ^ (phi(p) - 1) = x ^ (p - 1)
		在得到逆元后，我们可以求出 逆元的累积 和 数字的累积，
		
		最后求得 C(a, b) = a! / (b! * (a - b)!)
			在对 p 求余条件下， C(a, b) = a! * (b!) ^ (-1) * (a - b)! ^ (-1) 求逆元即可
 */
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 100010, MOD = 1e9 + 7;
LL product[N], inv_product[N];
int n;


LL get_combination(int a, int b) {
	return product[a] * inv_product[b] % MOD * inv_product[a - b] % MOD;
}

// x ^ (p - 1) = 1
// x ^ (-1) = x ^ (p - 2)
LL get_inv(int x) {
	LL base = x;
	int mi = MOD - 2;
	LL ret = 1;

	while (mi) {
		if (mi & 1) {
			ret = ret * base % MOD;
		}
		base = base * base % MOD;
		mi >>= 1;
	}

	return ret;
}


int main()
{
	// initialize
	product[0] = inv_product[0] = 1;
	product[1] = inv_product[1] = 1;
	for (int i = 2; i < N - 2; i ++ ) {
		product[i] = product[i - 1] * i % MOD;
		inv_product[i] = inv_product[i - 1] * get_inv(i) % MOD;
	}

	// input and calculate
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1, a, b; i <= n; i ++ ) {
		scanf("%d%d", &a, &b);
		printf("%lld\n", get_combination(a, b));
	}

	return 0;
}