整数划分

C++

整数划分

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 * 整数划分
 *
 * 问题描述:
 *    题目:
 *      一个正整数 n 可以表示成若干个正整数之和，形如：n=n1+n2+…+nk，其中, n1 ≥ n2 ≥ … ≥ nk,k ≥ 1。
 *      我们将这样的一种表示称为正整数 n 的一种划分。(其实上面这个定义主要是说明其有序性)
 *      现在给定一个正整数 n，请你求出 n 共有多少种不同的划分方法。
 *
 *    数据范围:
 *      1 ≤ n ≤ 1000
 * 求解思路1:
 *      f[i][j] 表示 若干整数相加为 i，其中最大的正整数为 j，划分方法的次数
 *      那么:  f[i][j] = f[i - j][1] + f[i - j][2] + ... + f[i - j][min(i - j, j)]
 *            其中 min(i - j, j) 既是为了防止最大值超过 sum，也是为了防止最大值超过 j
 *      初始化时候 memset(f, 0, sizeof f), f[0][0] = 1即可。
 *
 *      复杂度 O(N^3)
 * 求解思路2:
 *      不难发现求解思路1复杂度过高在于f[i][j] 的求解公式是一个 sum，因此我们可以重新定义 f[i][j]数组含义减少复杂度，
 *      或者是维护一个 sum 的累加和数组。
 *      重新定义 f[i][j], 表示 若干整数相加为 i，其中最大的正整数 <= j，划分方法的次数
 *      因此
 *          f[i][j] = f[i][j - 1] + f[i - j][min(i - j, j)]
 *      复杂度 O(N ^ 2)
 *      最后发现，这是完全背包解法
 * 求解思路3:
 *      f[i][j] 表示总和为 i，数组的长度为 j 的方案数
 *      f[i][j] = f[i - 1][j - 1] + f[i - 2][j - 1] + f[i - 3][j - 1] + ... + f[j - 1][j - 1] + ... + f[0][j - 1]
 *
 *      算法优化: f[i][j] 表示 总和小于等于 i，长度等于 j
 *      f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i-1][j-1]
 *
 *      初始化:
 *          memset(f, 0, sizeof f);
 *          f[0][0] = 1
 *
 *      但是该方法是错误的，因为 f[i - 1][j - 1] + f[i - 2][j - 1] + f[i - 3][j - 1] + ... + f[j - 1][j - 1] + ... + f[0][j - 1]
 *          这些方案可能是存在交叉了。。。。
 *
 *      重新划分，f[i][j]还是表示总和为 i，长度为 j
 *      存在 1 的方案个数为 f[i-1][j-1]
 *      不存在 1 的方案个数为 f[i-j][j]
 */
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cmath>
 
using namespace std;
 
const int N = 1010, MOD = 1e9 + 7;
int f[N][N], n;
 
 
int solution_one() {
    // initial
    memset(f, 0, sizeof f);
    f[0][0] = 1;
 
    // dp loop
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) {
        for (int j = 1; j <= i; j ++ ) {
            // 注意这 min(i - j, j)
            f[i][j] = (f[i][j - 1] + f[i - j][min(i - j, j)]) % MOD;
        }
    }
 
    return f[n][n];
}
 
int solution_two() {
    // initial
    memset(f, 0, sizeof f);
    f[0][0] = 1;
 
    // dp loop
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) {
        for (int j = 1; j <= i; j ++ ) {
            f[i][j] = (f[i - 1][j - 1] + f[i - j][j]) % MOD;
        }
    }
 
    int res = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) {
        res = (res + f[n][i]) % MOD;
    }
    res = (res % MOD + MOD) % MOD;
    return res;
}
 
int main()
{
    // input
    scanf("%d", &n);
 
    int res = solution_two();
 
    // output
    printf("%d\n", res);
    return 0;
}