筛质数

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筛质数

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 * 素数筛
 * 素数、质数定义:
 *      质数，又叫素数，是指一个大于1的自然数，且除了1和它本身外，不能被其他自然数整除的数。换句话说，就是该数除了1 和它本身以外，不再有其他的因数。
 *
 * 在先前的博客中，我们介绍了试除法 O(sqrt(N)) 判断一个数字是否为素数；以及 O(sqrt(N)) 将数分解为素数，下面我们介绍素数筛。
 *
 * 素数筛判断 1..n 中的数字，分别是否为素数。
 * 1. 使用试除法作素数筛
 *      我们已知试除法判断一个数字是否为素数的复杂度是 O(sqrt(N))，那么判断 n 个数字，复杂度约为 O(N sqrt(N)) = O(N ^ 1.5)。
 *      这是因为试除法 判断第 i 个数字是否为素数，没有充分利用到前 i 个数字的信息
 *
 *      因此可以充分使用了前面素数信息的方法，思想是判断 x 是否为素数，查看 x 之前，并且小于 sqrt(x) 的素数，x是否可以整除。
 *
 *      π(x)符号，就是表示小于或等于自然数x的所有素数个数，当x趋于无穷大时，π(x)和x /ln(x)这两个数的比值趋于1。
 *      因此复杂度为 O(N log(sqrt(N))
 * 2. 埃氏筛
 *      使用改进后的试除法作为素数筛是可以，但是 x 老是会整一些除不尽的数，浪费时间，因此我们可以使用质数，否定他的倍数。
 *      计算量:
 *          n / 1 + n / 2 + n / 3 + ... + n / n = n logn
 *      但是加上素数优化，感觉会好很多。
 *
 *  3. 欧拉筛(线性筛)
 *      欧拉筛和埃氏筛都是一样，利用 st 数组，结合公倍数进行筛选，晒出合数，剩下的就是质数了，他们复杂度的优劣性在于合数被筛选了多少次？
 *      埃氏筛的算法流程可以看出，对于某个合数，他被筛出的次数为他质因数分解后，质数的个数，如 45 = 3 ^ 2 * 5，他有两个种类的质数，3和5。
 *      欧拉筛的出发点在于，能否每个合数只需要筛选一次？
 *      -> 我们使用  最小的质因数  筛选合数，那么这个合数只会被筛选一次。
 *      复杂度从名称也可以听出来，为 O(N)
 *
 *  4. 实际运行时间分析
 *      发现试除法还是耗时长，这是因为试除法所有数字都要试除，不如直接利用 st 方法筛选出他们的倍数方便。
 */
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <cstdio>

using namespace std;

const int N = 1000010;
int n;
vector<int> prime;
bool st[N];


// 优化之后的试除法判质数
// @test-time: 231 ms
void sample_seive(int n) {
    prime.clear();
    memset(st, false, sizeof st);

    if (n <= 1) {
        return;
    }

    st[1] = true;
    for (int i = 2; i <= n; i ++ ) {
        for (int j = 0; j < prime.size() && prime[j] * prime[j] <= i; j ++ ) {
            if (i % prime[j] == 0) {
                st[i] = true;
                break;
            }
        }
        if (st[i] == false) {
            prime.push_back(i);
        }
    }
}


// 埃氏筛
// @test-time:	53 ms
void ai_sieve(int n) {
    memset(st, false, sizeof st);
    prime.clear();
    if (n <= 1) {
        return;
    }

    st[1] = true;
    for (int i = 2; i <= n; i ++ ) {
        if (st[i] == false) {
            prime.push_back(i);
            for (int j = i + i; j <= n; j += i) {
                st[j] = true;
            }
        }
    }
}

// 欧拉筛，线性筛
// @test-time:
void euler_sieve(int n) {
    prime.clear();
    memset(st, false, sizeof st);
    if (n <= 1) {
        return;
    }

    for (int i = 2; i <= n; i ++ ) {
        if (st[i] == false) {
            prime.push_back(i);
        }
        for (int j = 0; prime[j] <= n / i; j ++ ) { // i 这个因数，分解后质因数小于等于 primes[j]
            st[i * prime[j]] = true;
            if (i % prime[j] == 0) {
                break;
            }
        }
    }
}


int main()
{
    scanf("%d", &n);

    euler_sieve(n);

    printf("%d\n", prime.size());
    return 0;
}