染色法判定二分图
c++
染色法判定二分图
/*
* 二分图
*
* 二分图定义:
* 二分图又称作二部图,是图论中的一种特殊模型。 设G=(V,E)是一个无向图,如果顶点V可分割为两个互不相交的子集(A,B),
* 并且图中的每条边(i,j)所关联的两个顶点i和j分别属于这两个不同的顶点集(i in A,j in B),则称图G为一个二分图。
*
* 倘若想通过二分图的定义来判断图是否为二分图,枚举集合的复杂度可是相当之大的。可二分图有以下的充要条件
*
* 充要条件:
* 无向图G为二分图的充分必要条件是,G至少有两个顶点,且其所有回路的长度均为偶数。
*
* 充要条件证明:
* 必要性:
* 已知 graph 是二分图,我们假设存在一条回路,并且他的长度是奇数,我们假设该回路是:
* u1 -> u2 -> ... -> u(i) -> ... -> u(2i+1) -> u1
* 我们假设 u1 属于集合 A, 那么相邻的 u2 属于集合 B, ..., u(2i+1) 属于集合 A。
* 然而 u1 和 u(2i+1) 相邻,即和二分图相矛盾。
*
* 因此二分图,至少有两个顶点,且其所有回路的长度均为偶数。
*
* 充分性:
* 存在无向图 graph, 至少有两个顶点,且其所有回路的长度均为偶数,求证其是二分图。
*
* 要证明其必要性,给出划分方案即可。说先需要明确的是,偶数回路的并不会导致出现问题。
* 这是因为绕着偶数圈染色并不会造成冲突(理解就好
*
*/
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <vector>
using namespace std;
const int N = 200010;
int n, m;
int e[N], h[N], ne[N], idx;
int mark[N];
void add(int a, int b) {
e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++;
}
bool Check(int u) {
int v;
for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
v = e[i];
if (mark[v] == -1) {
mark[v] = 1 - mark[u];
if (Check(v) == false) {
return false;
}
} else if (mark[v] == mark[u]) {
return false;
}
}
return true;
}
int main()
{
// initialize
memset(h, -1, sizeof h);
memset(ne, -1, sizeof ne);
idx = 0;
// input
scanf("%d%d", &n, &m);
for (int i = 1, a, b; i <= m; i ++ ) {
scanf("%d%d", &a, &b);
add(a, b);
add(b, a);
}
// judge
memset(mark, -1, sizeof mark);
bool res = true;
for (int i = 1; i <= n; i ++ ) {
if (mark[i] == -1) {
mark[i] = 0;
res = Check(i);
if (res == false) {
break;
}
}
}
if (res == false) {
printf("No\n");
} else {
printf("Yes\n");
}
return 0;
}