染色法判定二分图

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染色法判定二分图

/*
 * 二分图
 *
 * 二分图定义:
 *      二分图又称作二部图，是图论中的一种特殊模型。 设G=(V,E)是一个无向图，如果顶点V可分割为两个互不相交的子集(A,B)，
 *      并且图中的每条边（i，j）所关联的两个顶点i和j分别属于这两个不同的顶点集(i in A,j in B)，则称图G为一个二分图。
 *
 *      倘若想通过二分图的定义来判断图是否为二分图，枚举集合的复杂度可是相当之大的。可二分图有以下的充要条件
 *
 * 充要条件:
 *      无向图G为二分图的充分必要条件是，G至少有两个顶点，且其所有回路的长度均为偶数。
 *
 * 充要条件证明：
 *      必要性:
 *          已知 graph 是二分图，我们假设存在一条回路，并且他的长度是奇数，我们假设该回路是:
 *              u1 -> u2 -> ... -> u(i) -> ... -> u(2i+1) -> u1
 *          我们假设 u1 属于集合 A, 那么相邻的 u2 属于集合 B, ..., u(2i+1) 属于集合 A。
 *          然而 u1 和 u(2i+1) 相邻，即和二分图相矛盾。
 *
 *          因此二分图，至少有两个顶点，且其所有回路的长度均为偶数。
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 *      充分性:
 *          存在无向图 graph, 至少有两个顶点，且其所有回路的长度均为偶数，求证其是二分图。
 *
 *          要证明其必要性，给出划分方案即可。说先需要明确的是，偶数回路的并不会导致出现问题。
 *          这是因为绕着偶数圈染色并不会造成冲突（理解就好
 *
 */
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <vector>
using namespace std;

const int N = 200010;
int n, m;
int e[N], h[N], ne[N], idx;
int mark[N];


void add(int a, int b) {
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++;
}

bool Check(int u) {
    int v;
    for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
        v = e[i];
        if (mark[v] == -1) {
            mark[v] = 1 - mark[u];
            if (Check(v) == false) {
                return false;
            }
        } else if (mark[v] == mark[u]) {
            return false;
        }
    }
    return true;
}

int main()
{
    // initialize
    memset(h, -1, sizeof h);
    memset(ne, -1, sizeof ne);
    idx = 0;

    // input
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1, a, b; i <= m; i ++ ) {
        scanf("%d%d", &a, &b);
        add(a, b);
        add(b, a);
    }

    // judge
    memset(mark, -1, sizeof mark);

    bool res = true;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) {
        if (mark[i] == -1) {
            mark[i] = 0;
            res = Check(i);
            if (res == false) {
                break;
            }
        }
    }

    if (res == false) {
        printf("No\n");
    } else {
        printf("Yes\n");
    }

    return 0;
}