Kruskal算法求最小生成树

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Kruskal算法求最小生成树

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 * 最小生成树
 * 最小生成树是图论中最为常见的问题之一，不过相比于最短路中的单源最短路和多源最短路，最小生成树算法主流仅有两种。
 * 分别是 Prim 算法和 Kruskal 算法。这两个算法一个是基于点的算法，一个是基于边的算法。
 * 这两者的关系有些像 最短路中 Dijkstra 和 Bellmanford。其中，Prim 算法和 Dijkstra 的流程图几乎一致。
 * 此次，我们将要介绍著名的 Kruskal 算法。
 *
 * 算法流程：
 *      Step 1:
 *          将所有的边按照边权大小从小到大排序。
 *      Step 2:
 *          按照从小到大的顺序遍历所有的边，对每一个边 edge 的端点 u, v，倘若 u v 不在一个连通域内，那么就将 u v相连。
 *      Step 3:
 *          倘若最后，所有的点都进入了同一个连通域，那么最小生成树构成。否则，最小生成树不存在。
 * 算法证明：
 *      对于这种迭代算法，仅需要证明其在 for 循环中，算法仍然成立即可。
 *      假如说，我们边为 edge1 时候，u v 端点不在同一个连通域中，不妨考虑，有没有一种可能，不加入 edge1 使得 u v相连通了呢？
 *
 *      假如说，有一种解决方案，得到了最小生成树，并没有用到 edge1。但是从我们排序边这个做法可以知道，edge1 绝对是 连接 u, v代价最小的办法。
 *      因此将 edge1 放到这个最小生成树中，必定可以找到环中 大于等于 edge1 权重的边，将其拿下，还是最小生成树。
 *      不断迭代，可以说明，我们这样是对的。
 *
 * 算法复杂度:
 *      算法主要复杂度是对边的排序，算法复杂度为 M log M
 * 注意点：
 *      这是无向图，排序和并查集
 */
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <string>
#include <vector>
#include <queue>
 
using namespace std;
 
const int N = 100010, M = 200010, INF = 0x3f3f3f3f;
 
class Edge {
public:
    int u, v, w;
};
Edge e[M];
int n, m;
int fa[N];
 
bool cmp(Edge t1, Edge t2) {
    return t1.w < t2.w;
}
 
int Find(int x) {
    if (fa[x] == x) {
        return x;
    } else {
        return fa[x] = Find(fa[x]);
    }
}
 
 
void Union(int x, int y) {
    x = Find(x), y = Find(y);
    fa[x] = y;
}
 
int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1, a, b, c; i <= m; i ++ ) {
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
        e[i].u = a, e[i].v = b, e[i].w = c;
    }
 
    sort(e + 1, e + m + 1, cmp);
 
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) {
        fa[i] = i;
    }
 
    int ret = 0, cnt = 0;
    for (int i = 1; i <= m; i ++ ) {
        if (Find(e[i].u) == Find(e[i].v)) {
            continue;
        } else {
            Union(e[i].u, e[i].v);
            ret += e[i].w;
            cnt += 1;
        }
    }
 
    if (cnt == n - 1) {
        printf("%d\n", ret);
    } else {
        printf("impossible\n");
    };
    return 0;
}