Prim 算法求解最小生成树
c++
Prim 算法求解最小生成树。 O(N^2) 和 O(mlog m)
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* 最小生成树
* 最小生成树是图论中最为常见的问题之一,不过相比于最短路中的单源最短路和多源最短路,最小生成树算法主流仅有两种。
* 分别是 Prim 算法和 Kruskal 算法。这两个算法一个是基于点的算法,一个是基于边的算法。
* 这两者的关系有些像 最短路中 Dijkstra 和 Bellmanford。其中,Prim 算法和 Dijkstra 的流程图几乎一致。
* 此次,我们将要介绍著名的 Prim 算法。
*
* 算法流程:
* 假设,我们在构建最小生成树过程中,加入树中的点集为 U,不在树中的点集为 V。
* Step 1:
* 任意加入一个点 到 U 中,同理其他的节点都应该在 V中。
* Step 2:
* 不断从 V 中选择距离集合 U 最近的点,加入 U 中,直到所有点都在 U 中,或者是 V 中剩余的点不可达 U
* Step 3:
* 倘若所有的点都加入了 U ,最小生成树已经构成,否则该图无法构成最小生成树。
* 算法证明:
* 对于这种迭代算法,仅需要证明其在 i -> i + 1次,算法仍然成立即可。
* 假如说,我们 集合 Ui -> U(i+1) 是,加入的是点 u,对应边为 edge1 ,不妨考虑,有没有一种可能,不在这里加入 u,而是在其他位置加入 u 呢?
*
* 假如说,有一种解决方案,得到了最小生成树,但是加入 u 点不在此处,而是更为靠后。那我们在树中,加入 edge1,形成环。因为 edge 1 是集合 U和
* 集合 V 中最近的边,其它边肯定是大于等于 edge1,那么我们拿掉这个边,换上 edge1,此时的生成树代价小于等于最小生成树。他也一定是一个最小生成树。
*
* 算法复杂度:
* 因为操作步骤和 Dijkstra 相同,复杂度一样为 O(Mlog M)或者是 O(N^2)
* 注意点:
* 这是无向图
*/
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <string>
#include <vector>
#include <queue>
using namespace std;
const int N = 510, M = 200010, INF = 0x3f3f3f3f;
typedef pair<int, int> PII;
int h[N], e[M], ne[M], w[M], idx;
int dist[N];
bool st[N];
int n, m;
void add(int a, int b, int c) {
e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++;
}
// n^2
int Prim_n_2() {
int ret = 0;
memset(st, false, sizeof st);
memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
dist[1] = 0;
int u, v;
for (int i = 1; i <= n; i ++ ) {
u = -1;
for (int j = 1; j <= n; j ++ ) {
if (st[j] == false && (u == -1 || dist[u] > dist[j])) {
u = j;
}
}
if (u == -1 || dist[u] >= INF) {
return INF;
}
st[u] = true;
ret += dist[u];
for (int j = h[u]; ~j; j = ne[j]) {
v = e[j];
dist[v] = min(dist[v], w[j]);
}
}
return ret;
}
// mlog m
int Prim_mlogm() {
int ret = 0;
memset(st, false, sizeof st);
memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
dist[1] = 0;
priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII> > heap;
heap.push(PII(0, 1));
int u, v, d, d2;
PII cur;
while (heap.empty() == false) {
cur = heap.top(); heap.pop();
d = cur.first, u = cur.second;
if (st[u] == true) {
continue;
}
st[u] = true;
ret += d;
for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
v = e[i];
d2 = w[i];
if (dist[v] > d2) {
dist[v] = d2;
heap.push(PII(d2, v));
}
}
}
for (int i = 1; i <= n; i ++ ) {
if (st[i] == false) {
return INF;
}
}
return ret;
}
int main()
{
// initialize
memset(h, -1, sizeof h);
memset(ne, -1, sizeof ne);
idx = 0;
// input
scanf("%d%d", &n, &m);
while (m -- ) {
static int a, b, c;
scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
add(a, b, c);
add(b, a, c);
}
int res = Prim_mlogm();
if (res >= INF / 2) {
printf("impossible\n");
} else {
printf("%d\n", res);
}
return 0;
}