背包专题
一、 01背包
1.题目
1） HDU 4526
地址：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4526
题意：N个人要在S分钟内乘K俩车到达比赛现场，每辆车Ki分钟到达，剩余Zi个座位，不管几个人上一辆车，费用都是D，对每一辆车可选择做还是不做，不做产生等待费用，等待费用是时间乘以人数，问最后在所有人能到达比赛现场的情况下，话费最少的钱是多少？
解法：对第i俩车，可选择做还是不做，dp[i][j] 表示前i辆车做了j人所需要的最小费用，典型的01背包问题。
dp方程：
dp[i][j] = min(dp[i-1][j] + (ptime[i] - ptime[i-1]) * (N-j) , dp[i-1][j - k] +( N - j + k) * (ptime[i] - ptime[i-1]) + D);
令我羞愧的是，比赛时我设的i从0开始，初始dp[0][0] = ptime[0] * N ,其他dp元素的值为inf, 一直WA~~~
将dp[0][0] = 0,就AC了~~~不解~~以后还是都从1开始吧~~惨痛的教训，认真分析方程含义，处理各种边界情况，特别是初始值问题
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#include <stdio.h> #include <string.h> #include <stdlib.h> #include <algorithm> using namespace std; const int inf = 0x7f7f7f7f; #define MAXN 110 int ptime[110], seat[110], dp[110][510]; /* memeset(dp, 0x7f, sizeof(dp)); dp[i][0] = N * time[i] dp[i][v], 表示到第i辆车时，累计已经有v个人上车了 for(int i = 1; i <= seat[0]; i++) dp[0][i] = D + ( N - i ) * time[1]; dp[i][v] = min(dp[i-1][v - seat[i]] + (N - v + seat[i] )* (time[i] - time[i-1]) + D, dp[i-1][v] + (time[i] - time[i-1]) * (N-v) ) */ int main( ) { int N,K,D,S,T; scanf("%d",&T); while(T--) { scanf("%d%d%d%d",&N,&K,&D,&S); memset(ptime, 0, sizeof(ptime)); memset(seat, 0, sizeof(seat)); memset(dp, 0x7f, sizeof(dp)); dp[0][0] = 0; for(int i = 1; i <= K; ++i) { scanf("%d%d",&ptime[i], &seat[i]); } for(int i = 1; i <= K; ++i) dp[i][0] = ptime[i] * N; for(int i = 1; i <= K; ++i) { for(int j = 0; j<= N; ++j) { dp[i][j] = dp[i-1][j] + (ptime[i] - ptime[i-1]) * (N - j); for(int k = 0; k <= seat[i]; ++k) { if( j - k >= 0 ) { dp[i][j] = min(dp[i-1][j - k] +( N - j + k) * (ptime[i] - ptime[i-1]) + D,dp[i][j]); } } } } if( dp[K][N] == inf ) puts("impossible"); else printf("%d\n",dp[K][N]); } return 0; }
另外一种简单写法，此外还可以优化成一维dp
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#include <stdio.h> #include <string.h> #include <stdlib.h> #include <algorithm> using namespace std; const int inf = 0x3f3f3f3f; int main( ) { int T, N, K, D, S; scanf("%d",&T); int ptime[110],seat[110], dp[110][110]; while(T--) { scanf("%d%d%d%d",&N,&K,&D,&S); for(int i = 1; i <= K; ++i) scanf("%d%d",&ptime[i],&seat[i]); memset(dp,0x3f,sizeof(dp)); dp[0][0] = 0; for(int i = 1; i <= K; i++) { for(int j = 0; j <= N; j++) { dp[i][j] = dp[i-1][j]; for(int k = 1; k <= seat[i]; ++k) { if( j - k >= 0 ) dp[i][j] = min(dp[i-1][j-k] + D + k * ptime[i], dp[i][j]); } } } if( dp[K][N] == inf ) puts("impossible"); else printf("%d\n",dp[K][N]); } return 0; }
2. coins
题意：小明有N种不同分值的硬币，每个分值的硬币数量为Ci,手表费用不超过M， 问小明的这些硬币能组成多少种钱（1-M）。
算法：
1.动态规划解法
对于每一种分值的硬币，可选择取于不取，还可以选择取的数量，用二进制将数量转为一个单一物品，比如16 = 1 + 2 + 4 + 8 + 1，
数量16的物品，可以由五个物品组成，总的价钱不能超过M。
1 ≤ N ≤ 100 M≤ 100000
dp[M]表示硬币组成钱的和为M时，是否可以组成M钱。
最后从1遍历到M，统计能组成的钱数。
最坏时间复杂度为O（N * M）
代码：
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#include <stdio.h> #include <string.h> #include <stdlib.h> int v[110],num[110]; int dp[100010]; int value[2000]; int max(int x, int y) { return x > y ? x : y; } int main( ) { int n,m; while( scanf("%d%d",&n,&m), n||m ) { for(int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d",&v[i]); for(int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d",&num[i]); memset(dp, 0, sizeof(dp)); //将num[i]插为二进制表示 //16 = 1 2 4 8 1 int cnt = 0; for(int i = 1; i <= n; ++i) { int t = 1, left = num[i],flag = 0; while( left >= t ) { //printf("t = %d\n",t); if( t * v[i] > m ) { flag = 1; break; } value[++cnt] = t * v[i]; left -= t; t <<= 1; } //printf("left = %d\n",left); if( left && !flag ) value[++cnt] = left * v[i]; } //对于value中每个物品，可以选一个，也可以选多个 //dp[v] = dp[v - value[i] ] dp[0] = 1; for(int i = 1; i <= cnt; i++) { for(int V = m; V >= value[i]; --V) { if( V >= value[i] && dp[V-value[i]] != 0 ) dp[V] = dp[V - value[i] ]; //else //dp[V] = dp[V-1]; } } cnt = 0; for(int i = 1; i <= m; i++) if( dp[i] ) ++cnt; printf("%d\n",cnt); } return 0; }
母函数解法：
(1+x1 + x1^2 + x1^3 + ..) ....(1 + xn + x^2n + x^3n)
xn表示x的n次方。
统计最后x的次数小于等于M，且系数不为0的个数，就是能组成的钱数。
最坏时间复杂度为O( N * M * MAX(ci) ) 果断TLE
代码：
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#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <string.h> #define MAXN 102000 int c1[MAXN], c2[MAXN]; int v[MAXN], num[MAXN], sum[MAXN]; /* (1+x1 + x1^2 + x1^3 + ..) ....(1 + xn + x^2n + x^3n) */ int solve(int n, int m) { //memset(sum, 0, sizeof(sum)); //for(int i = 1; i <= n; i++) // sum[i] += sum[i-1] + v[i] * num[i]; //统计前i项时x最高次数 for(int i = 0; i <= m; i++) { c1[i] = 0; c2[i] = 1; //每个括号中系数的值 } //c1[0] = 1; int maxn = 0, temp = 0; for(int i = 1; i <= n; ++i) //n个括号，n 轮运算 { temp = maxn; for(int j = 0; j <= temp && j <= m; j++) //枚举前i-1个括号所得值 { //int ans = num[i] * v[i]; for(int k = 0, l = 0; l <= num[i] && (j + k) <= m; k += v[i], l++) { c1[ j + k ] += c2[k]; maxn = (j + k) > maxn ? (j + k) : maxn; } //c2[ j ] += c1[j]; } } int cnt = 0; for(int i = 1; i <= m; i++) if( c1[i] ) ++cnt; return cnt; } int main( ) { int n,m; while( scanf("%d%d",&n,&m), n||m ) { for(int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d",&v[i]); for(int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d",&num[i]); printf("%d\n",solve(n,m)); } return 0; }
