同余问题常用定理证明

扩展欧几里得算法

扩展欧几里得定理：设 $a$ 和 $b$ 不全为 $0$ ，则存在整数 $x$ 和 $y$ ，使得 $a x + b y = (a, b)$ 。

证明：设 $d = (a, b)$ ，求 $a x + b y = d$ 的一组 $(x, y)$ 。

欧几里得算法可知， $b x^{'} + (a mod b) y^{'} = d$ 。

即 $b x^{'} + (a - ⌊ \frac{a}{b} ⌋ \cdot b) y^{'} = d$ ， $a y^{'} + b (x^{'} - ⌊ \frac{a}{b} ⌋ \cdot y^{'}) = d$ 。

则 $x = y^{'}, y = x^{'} - ⌊ \frac{a}{b} ⌋ \cdot y^{'}$ 。

可以通过欧几里得算法递归迭代到 $a^{'} = d, b^{'} = 0$ 时可以得到此时 $x^{'} = 1, y^{'} = 0$ ，再利用上面推出的 $x, y$ 与 $x^{'}, y^{'}$ 的关系进一步代入计算，得到 $a x + b y = (a, b)$ 的一组解。

利用归纳法，最后解的大小满足： $| x | \leq b, | y | \leq a$ 。

int exgcd (int a, int b, int &x, int &y) {
    if (!b) {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    
    int d = exgcd (b, a % b, y, x);

    y -= (a / b) * x;

    return d;
}

欧拉定理 & 费马小定理

欧拉定理：若 $(a, m) = 1$ ，则 $a^{φ (m)} \equiv 1 (\mod m)$ 。

证明：设 $r_{1}, r_{2}, \dots, r_{φ (m)}$ 是模 $m$ 的缩系，因为 $(a, m) = 1$ ，所以 $a r_{1}, a r_{2}, \dots, r_{φ}$ 也是模 $m$ 的缩系。

即 $r_{1} r_{2} \dots r_{φ (m)} \equiv a r_{1} \cdot a r_{2} \dots a r_{φ (m)} \equiv a^{φ (m)} r_{1} r_{2} \dots r_{φ (m)}$ 。

根据缩系性质，可约去 $r_{1} r_{2} \dots r_{φ (m)}$ ，即得 $a^{φ (m)} \equiv 1 (\mod m)$ 。

费马小定理：若 $p$ 为素数，则 $a^{p - 1} \equiv 1 (\mod p)$ 。

证明：当 $p$ 为素数 $(a, p) = 1$ ，由于 $φ (m - 1) = m - 1$ ，带入欧拉定理可立即得到费马小定理。

线性同余方程

设 $(a, m) = d$ ，则一次同余方程： $a x \equiv b (\mod m)$ ，有解的充要条件是 $d ∣ b$ 。

设同余方程有解 $x = c$ ，则 $m ∣ (a c - b)$ ，从而 $d ∣ (a c - b)$ ，但 $d ∣ a$ ，故 $d ∣ b$ 。

反过来，若 $d ∣ b$ ，则同余方程与 $\frac{a}{d} x \equiv \frac{b}{d} (\mod \frac{m}{d})$ 同解，任取模 $\frac{m}{d}$ 的一个完系 $c_{1}, \dots, c_{\frac{m}{d}}$ ，因 $(\frac{a}{d}, \frac{m}{d}) = 1$ ， $\frac{a}{d} c_{1} - \frac{b}{d}, \dots, \frac{a}{d} c_{\frac{m}{d}} - \frac{b}{d}$ 也是模 $\frac{m}{d}$ 的完系，所以同余方程存在整数解，且形成模 $\frac{m}{d}$ 的一个同余类。但 $d ∣ b$ 时，原同余方程（模 $m$ ）恰有 $d$ 个解。

int x, y;
int d = exgcd (a, p, x, y);

if (b % d) {
    res = -1;
} else {
    x *= (b / d);
    res = (x % (p / d) + (p / d)) % (p / d);
}

中国剩余定理

中国剩余定理：设 $m_{1}, \dots, m_{k}$ 是两两互素的正整数，则对于任意整数 $b_{1}, \dots, b_{k}$ ，一次同余方程组 $x \equiv b_{1} (\mod m_{1}), \dots, x \equiv b_{k} (\mod m_{k})$ 必有解，且全部解是模 $m_{1} \dots m_{k}$ 的一个同余类。确切地说，同余方程组的解是 $x \equiv M_{1} M_{1}^{- 1} b_{1} + \dots + M_{k} M_{k}^{- 1} b_{k} (\mod m_{1} \dots m_{k})$ 。

其中 $M_{i}$ 及 $M_{i}^{- 1}$ $(1 \leq i \leq k)$ 由条件 $m_{1} \dots m_{k} \equiv M_{i} m_{i}, M_{i} M_{i}^{- 1} \equiv 1 (\mod m_{i})$ 决定。因为 $(m_{i}, M_{i}) = 1$ ，故有整数 $M_{i}^{- 1}$ ，使得 $M_{i} M_{i}^{- 1} \equiv 1 (\mod m_{i})$ 。对 $j \neq i$ ，有 $m_{j} ∣ M_{i}$ ，因此数 $d_{i} = M_{i} M_{i}^{- 1}$ ，满足： $d_{i} \equiv 1 (\mod m_{i}), d_{i} \equiv 0 (\mod m_{j})$ （对 $j \neq i$ ）。

易于验证，上面的解的”叠加“ $b_{1} d_{1} + \dots + b_{k} d_{k}$ 满足同余方程组的解。

另一方面，如果 $x, x^{'}$ 都是同余方程组的解，则 $x \equiv x^{'} (\mod m_{i}), 1 \leq i \leq k$ 。由 $m_{1}, \dots, m_{k}$ 两两互素知， $x \equiv x^{'} (\mod m_{1} \dots m_{k})$ ，因此同余方程组的解是模 $m_{1} \dots m_{k}$ 的一个同余类。

线性同余方程组

模数互质，使用中国剩余定理。

vector <int> A(n), B(n);
LL M = 1;
for (int i = 0; i < n; i ++ ) {
    cin >> A[i] >> B[i];
    M *= A[i];
}

LL res = 0;
for (int i = 0; i < n; i ++ ) {
    LL Mi = M / A[i];
    LL ti, x;
    exgcd (Mi, A[i], ti, x);
    res += B[i] * Mi * ti;
}

cout << (res % M + M) % M << "\n";

在模数不互质的情况下，设其中两个方程分别是 $x \equiv a_{1} (\mod m_{1}), x \equiv a_{2} (\mod m_{2})$ 。转化为不定方程： $x = m_{1} p + a_{1} = m_{2} q + a_{2}$ ，其中 $p, q$ 是整数，则有 $m_{1} p - m_{2} q = a_{2} - a_{2}$ 。由裴蜀定理，当 $a_{2} - a_{1}$ 不能被 $(m_{1}, m_{2})$ 整除时，无解；否则，扩展欧几里得定理得到一组可行解 $(p, q)$ ，则这两个方程组的解是 $x \equiv b (\mod M)$ ，其中 $b = m_{1} p + a, M = [m_{1}, m_{2}]$ 。多个方程两两合并。

LL res = 0, m1, a1;
cin >> m1 >> a1;

for (int i = 0; i < n - 1; i ++ ) {
    LL m2, a2;
    cin >> m2 >> a2;

    LL k1, k2;
    LL d = exgcd (m1, m2, k1, k2);

    if ((a2 - a1) % d) {
        res = -1;
    }

    k1 *= (a2 - a1) / d;
    k1 = (k1 % (m2 / d) + (m2 / d)) % (m2 / d);

    LL m = abs (m1 / d * m2);
    a1 = k1 * m1 + a1;
    m1 = m;
}

if (res != -1) {
    res = (a1 % m1 + m1) % m1;
}

cout << res << "\n";