学习笔记-字典树

字典树一般有两个作用(我学到的)，一个是查询单词的出现，一个是计算最大异或值。

字典树的ch数组该如何理解？
其实ch[p][j]指的是从p是否有一条值为为j的边到下一个点，如果ch[p][j]为0，就是没有。

例题1
luogu P2580

https://www.luogu.com.cn/problem/P2580

这题就是存字串的裸题，唯一要处理的细节就是点名两次该如何处理，我这里用了一个有点蠢的方法，记录了每个字符串点的次数，以及是否点过，如果次数大于2并且再一次点到就是重复点名。还有这里的cnt数组记录的是每个字符串结尾的次数。有些题种记录的是每个字符串出现的次数。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
const int mod = 998244353, INF = 1 << 30;
const int N = 5e5 + 10;
int ch[N][26], idx, cnt[N];
map<string, bool> vis;
map<string, int> hv;


void insert(string &s)
{
    int len = s.size();
    int p = 0;
    for (int i = 0; i < len; i ++){
        int j = s[i] - 'a';
        if (!ch[p][j]) ch[p][j] = ++ idx;
        p = ch[p][j];    
    }
    cnt[p] ++;
}

int query(string &s)
{
    int len = s.size();
    int p = 0;
    for (int i = 0; i < len; i ++){
        int j = s[i] - 'a';
        if (!ch[p][j]) return 0;
        p = ch[p][j];
    }
    return cnt[p];
}

int main()
{
    cin.tie(nullptr);
    ios::sync_with_stdio(false);
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i ++){
        string s;
        cin >> s;
        hv[s] ++;
    }
    int q;
    cin >> q;
    while (q --){
        string s;
        cin >> s;
        if (hv[s] && !vis[s]) {cout << "OK" << endl; vis[s] = 1;}
        else if (hv[s] && vis[s]) cout << "REPEAT" << endl;
        else cout << "WRONG" << endl;
    }
    return 0;
}

思考： 我们有插入操作，那如何实现删除操作？
其实我们可以用懒删除，用一个cnt计数，这里的cnt和例1种的cnt不太一样，这个是每个节点都要计数一次，例1中是每个单词的尾部节点计数一次，删除时将每个节点的cnt减去一次，查询的时候如果cnt为0就说明节点已经删除掉了。

例题2
luogu P4551

https://www.luogu.com.cn/problem/P4551

这题是求最大的异或值，只是转移到树上，我们假设异或值最大的路径是u -> v,根据异或前缀和的思想，我们设点x到根节点的异或路径和是sum[x], u, v到最近公共祖先的异或值为s[u], s[v], s[u] ^ s[v]就是这题的答案。
s[u] ^ s[v] = s[u] ^ s[v] ^ sum[lca[u, v]] ^ sum[lca[u, v]] = (s[u] ^ sum[lca(u, v)]) ^ (s[v] ^ sum[lca(u, v)]) = sum[u] ^ sum[v]
所以我们只需要一次dfs就能算出所有节点到根节点的异或路径和，并查询所有异或路径和的最大异或值，用01trie维护。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
const int mod = 998244353, INF = 1 << 30;
const int N = 1e5 + 10;
vector<PII> e[N];
int ch[N * 31][2], idx, sum[N];
int ans;

void insert(int x)
{
    int p = 0;
    for (int i = 30; i >= 0; i --){
        int j = (x >> i) & 1;
        if (!ch[p][j]) ch[p][j] = ++ idx;
        p = ch[p][j];
    }
}

int query(int x)
{
    int p = 0, res = 0;
    for (int i = 30; i >= 0; i --){
        int j = (x >> i) & 1;
        if (ch[p][!j]){
            res += (1 << i);
            p = ch[p][!j];
        }
        else{
            p = ch[p][j];
        }
    }
    return res;
}

void dfs(int u, int fa)
{
    for (auto x: e[u]){
        int v = x.first, w = x.second;
        if (v == fa) continue;
        sum[v] = sum[u] ^ w;
        dfs(v, u);
    }
}


int main()
{
    cin.tie(nullptr);
    ios::sync_with_stdio(false);
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 1; i < n; i ++) {
        int u, v, w;
        cin >> u >> v >> w;
        e[u].push_back({v, w});
        e[v].push_back({u, w});
    }
    dfs(1, -1);
    for (int i = 2; i <= n; i ++) insert(sum[i]);

    for (int i = 1; i <= n; i ++) ans = max(query(sum[i]), ans);
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

例题3
CF1895D XOR Construction

https://codeforces.com/contest/1895/problem/D

题意：给出一个n-1长度的数组a，要构造一个b数组，满足要求：1.数组b是0 ~ n-1的排列 2.b[i] ^ b[i + 1] = a[i]

手推一下，可以发现 \(a_{1} \oplus a_{2} \oplus .... \oplus a_{n - 1} = b_{1} \oplus b_{2} \oplus b_{2} \oplus b_{3} \oplus .... \oplus b_{n - 1} \oplus b_{n}\)
即\(a_{1} \oplus a_{2} \oplus .... \oplus a_{n - 1} = b_{1} \oplus b_{n}\)，可以看出我们只要求出\(b_{1}\)的值，b就能求出来。
我们设a的异或前缀和为sum[n];
我们发现题目中说保证有解，而且解的个数可能不为1。
用a的异或前缀和建一颗字典树，我们的所有值都是0 ~ n - 1的。
所以我们枚举\(a_{1}\) 从[0, n - 1], 如果与字典树中的最大异或和刚好是n - 1，这个\(a_{1}\)就是符合要求的。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
const int mod = 998244353, INF = 1 << 30;
const int N = 2e5 + 10;
int a[N], sum[N];
int ch[N * 31][2], idx;

void insert(int x)
{
    int p = 0;
    for (int i = 30; i >= 0; i --){
        int j = (x >> i) & 1;
        if (!ch[p][j]) ch[p][j] = ++ idx;
        p = ch[p][j];
    }
}


int query(int x)
{
    int p = 0, res = 0;
    for (int i = 30; i >= 0; i --){
        int j = (x >> i) & 1;
        if (ch[p][!j]){
            res += (1 << i);
            p = ch[p][!j];
        }
        else{
            p = ch[p][j];
        }
    }
    return res;
}

int main()
{
    cin.tie(nullptr);
    ios::sync_with_stdio(false);
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 1; i < n; i ++){
        cin >> a[i];
        sum[i] = a[i];
        sum[i] ^= sum[i - 1];
    }
    for (int i = 1; i < n; i ++) insert(sum[i]);
    int fst = -1;
    for (int i = 0; i < n; i ++){
        if (query(i) == n - 1) {
            fst = i;
            break;
        }
    }
    if (fst == -1) fst = n - 1;
    cout << fst << ' ';
    for (int i = 1; i < n; i ++){
        cout << (fst ^ sum[i]) << ' ';
    }
    return 0;
}