二分查找与循环不变量

二分法和循环不变量：

循环不变量的意义：

变量的意义要不变，始终要在有效的范围内，这是保证程序正确性的一种方法

循环不变量主要用来帮助我们理解算法的正确性。关于循环不变式，我们必须证明三条性质：

初始化：循环的第一次迭代之前，它为真。
保持：如果循环的某次迭代之前它为真，那么下次迭代之前它仍为真。
终止：在循环终止时，不变式为我们提供一个有用的性质，该性质有助于证明算法是正确的。

二分法中使用循环不变量来确定循环终止条件和区间更新式的写法

二分查找一般由三个主要部分组成：
预处理 —— 如果集合未排序，则进行排序。
二分查找 —— 使用循环或递归在每次比较后将查找空间划分为两半。
后处理 —— 在剩余空间中确定可行的候选者。

为什么二分法经常写乱？

我们写二分法时常常无法确定循环终止条件是否取等号，不知道区间更新式成right = mid还是right = mid - 1？

写二分法经常写乱，是因为区间的定义没有想清楚，二分查找的边界条件（区间）的定义就是不变量。

怎样使用不变量原则确定循环终止条件和区间更新式

在二分查找的过程中，保持不变量，就是在while寻找中每一次边界的处理都要坚持根据区间的定义来操作，让循环内的区间始终满足定义的性质，这就是循环不变量规则。

区间的定义一般为两种，左闭右闭即[left, right]（target一定在[left, right]内）或者左闭右开即[left, right)，即target一定在[left, right）内。

我们需要在二分的初始化和保持（while循环）中使得循环终止条件和区间更新式满足：target一定在区间内。

一个力扣题目:35. Search Insert Position

import sys
class Solution:
    def searchInsert(self, nums, target: int) -> int:
        '''
        二分查找的最终结果与target的大小关系是不确定的，
        所以要加条件判断，二分还是感觉有点慌，终止条件和上下取整不确定
        '''
        left, right = 0, len(nums) - 1
        while left <= right:
            mid = (left + right) // 2
            if nums[mid] == target:
                return mid
            elif nums[mid] > target:
                right = mid - 1
            elif nums[mid] < target:
                left = mid + 1
        print(left, mid, right)
        '''
        这一句带逻辑的return其实是额外的，本身不属于二分，两点需要注意
        1. 原版的二分查找不会找插入位置，而是找不到就直接返回-1，
        最后插入哪个位置要看问题的逻辑，对推出循环的区间做一点小的逻辑分析
        2. 循环中一直满足：不变量（区间）[left, right]包括了target，因此
        因此一定要不满足这个性质时才退出循环，（left==right满足性质，因此在循环内）
        '''
        return mid + 1  if nums[mid] < target else mid 
if __name__ == '__main__':
    obj = Solution()
    nums = [1,3,5,6]
    target = 5
    nums = [1,3,5,6]
    target = 2
    nums = [1,3,5,6]
    target = 4
    sys.stdout.write(str(obj.searchInsert(nums, target)))