线段树合并[学习笔记]

线段树合并

壹.

什么是线段树合并？ 简单来说就是合并两棵线段树

对于当前要合并的节点 \(x,y\)

• 如果一方为空返回另一方

• 否则分别合并左右子树

int merge(int x,int y){
    if(!x||!y)  return x+y;
    cnt(x)+=cnt(y);
    //...
    ls(x)=merge(ls(x),ls(y));
    rs(x)=merge(rs(x),rs(y));
    return x;
}

有时候需要到叶子结点再合并，然后 \(pushup\)

int merge(int x,int y,int l,int r){
    if(!x||!y)  return x+y;
    if(l==r){
        cnt(x)+=cnt(y);
        //...
        return x;
    }
    int mid=(l+r)>>1;
    ls(x)=merge(ls(x),ls(y),l,mid);
    rs(x)=merge(rs(x),rs(y),mid+1,r);
    pushup(x);
    return x;
}

大概就是这样。

我们多数情况是在动态开点线段树中使用线段树合并，动态开点，就是非静态地开一些点， 就是一棵缺胳膊少腿的线段树，我们需要用哪个节点，再现开，很节省空间。

嗯，很是简单，对吧，但是——

线段树合并题的难点从来不在线段树合并上(我口胡的)

贰.\(hs\)题单

\(T_A\) 雨天的尾巴

假板子。

对于暴力做法是开 \(O(N\times num)\) 的数组存每个节点存的每个物品的个数，最后每个点 \(O(num)\) 遍历求答案。这无疑会浪费很多时间空间，那么动态开点权值线段树就是处理这种情况的有力武器( \(num\) 为物品种数)

那么树上差分，最后跑子树求和的时候把子节点合并到父亲上，\(pushup\) 统计答案。

！！！警示后人

线段树合并要"及时行乐"，合并完当前节点就赶紧存储答案，因为把它往上合并时他的信息会发生改变，因为 if(!x||!y) return x+y;，我在这卡了半天，不要到最后再输出每个节点的答案。

$CODE$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define read read()
#define pt puts("")
#define swap(x,y) (x^=y,y^=x,x^=y)
inline int read{
    int x=0,f=1;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9') {if(c=='-')  f=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9')   x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0',c=getchar();
    return f*x;
}
void write(int x){
    if(x<0)  putchar('-'),x=-x;
    if(x>9)  write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
    return;
}
const int N = 1e5+10;
int n,m;
int ans[N];
int qu[N],qv[N],z[N],num;
int lsh[N];
namespace GETLCA{
    struct EDGE{int next,to;}e[N<<1];
    int head[N],tot;
    void add(int u,int v){e[++tot]={head[u],v};head[u]=tot;}
    int fa[N][18],depth[N];
    int lg2[N];
    void dfs(int x){
        depth[x]=depth[fa[x][0]]+1;
        for(int i=head[x];i;i=e[i].next){
            int y=e[i].to;
            if(y==fa[x][0])  continue;
            fa[y][0]=x;dfs(y);
        }
    }
    void init(){
        for(int i=2;i<=n;i++)  lg2[i]=lg2[i>>1]+1;
        for(int j=1;j<=lg2[n];j++)
            for(int i=1;i<=n;i++)
                fa[i][j]=fa[fa[i][j-1]][j-1];
    }
    int LCA(int u,int v){
        if(depth[u]<depth[v])  swap(u,v);
        int k=lg2[depth[u]-depth[v]];
        for(int i=k;i>=0;i--)
            if(depth[fa[u][i]]>=depth[v])  u=fa[u][i];
        if(u==v)  return u;
        k=lg2[depth[u]];
        for(int i=k;i>=0;i--)
            if(fa[u][i]!=fa[v][i])
                u=fa[u][i],v=fa[v][i];
        return fa[u][0];
    }
}using namespace GETLCA;

namespace Segment_Tree{
    struct Tree{
        int ls,rs,cnt,id;
        #define ls(i) tr[i].ls
        #define rs(i) tr[i].rs
        #define cnt(i) tr[i].cnt
        #define id(i) tr[i].id
    }tr[5000000];
    int root[N];int sum;
    void pushup(int i){
        cnt(i)=max(cnt(ls(i)),cnt(rs(i)));
        id(i)=cnt(ls(i))>=cnt(rs(i))?id(ls(i)):id(rs(i));
    }
    void create(int &i,int l,int r,int x,int k){
        if(!i) i=++sum;
        if(l==r){
            cnt(i)+=k;
            id(i)=cnt(i)?l:0;
            return;
        }
        int mid=(l+r)>>1;
        if(x<=mid)  create(ls(i),l,mid,x,k);
        else  create(rs(i),mid+1,r,x,k);
        pushup(i);
    }
    int merge(int x,int y,int l,int r){
        if(!x||!y)  return x+y;
        if(l==r){
            cnt(x)+=cnt(y);
            id(x)=cnt(x)?l:0;
            return x;
        }
        int mid=(l+r)>>1;
        ls(x)=merge(ls(x),ls(y),l,mid);
        rs(x)=merge(rs(x),rs(y),mid+1,r);
        pushup(x);
        return x;
    }
    void solve(int x){
        for(int i=head[x];i;i=e[i].next){
            int y=e[i].to;
            if(y==fa[x][0])  continue;
            solve(y);
            root[x]=merge(root[x],root[y],1,num);
        }
        ans[x]=id(root[x]);//及时存答案！
    }
}using namespace Segment_Tree;
signed main()
{
    #ifndef ONLINE_JUDGE
        freopen("lty.in","r",stdin);
        freopen("lty.out","w",stdout);
    #endif
    n=read,m=read;
    for(int i=1,a,b;i<n;i++){
        a=read,b=read;add(a,b);add(b,a);
    }
    dfs(1);init();
    for(int i=1;i<=m;i++)  qu[i]=read,qv[i]=read,lsh[i]=z[i]=read;
    sort(lsh+1,lsh+m+1);num=unique(lsh+1,lsh+m+1)-lsh-1;
    for(int i=1;i<=m;i++)  z[i]=lower_bound(lsh+1,lsh+num+1,z[i])-lsh;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int u=qu[i],v=qv[i];
        int lca=LCA(u,v);
        create(root[u],1,num,z[i],1);
        create(root[v],1,num,z[i],1);
        create(root[lca],1,num,z[i],-1);
        create(root[fa[lca][0]],1,num,z[i],-1);
    }
    solve(1);
    for(int i=1;i<=n;i++)  write(lsh[ans[i]]),pt;
    return 0;
}

---

\(T_B\) bzoj4636蒟蒻的数列

值域很大，考虑动态开点，然后从左右儿子更新答案，貌似不用线段树合并

$CODE$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define read read()
#define pt puts("")
inline int read{
    int x=0,f=1;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9') {if(c=='-')  f=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9')   x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0',c=getchar();
    return f*x;
}
void write(int x){
    if(x<0)  putchar('-'),x=-x;
    if(x>9)  write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
    return;
}
#define N 40010
#define m 1000000000
int n;
int ans;
namespace SegmentTree{
    struct Tree{
        int ls,rs,k;
        #define ls(i) tr[i].ls
        #define rs(i) tr[i].rs
        #define k(i) tr[i].k
    }tr[10000000];
    int root;
    int tot;
    void create(int &i,int l,int r,int L,int R,int k){
        if(l>R||r<L)  return;
        if(!i)  i=++tot;
        if(L<=l&&r<=R){
            k(i)=max(k(i),k);
            return;
        }
        int mid=(l+r)>>1;
        create(ls(i),l,mid,L,R,k);
        create(rs(i),mid+1,r,L,R,k);
        return;
    }
    void query(int i,int l,int r){
        int mid=(l+r)>>1;
        if(!ls(i))  ans+=(mid-l+1)*k(i);
        if(!rs(i))  ans+=(r-mid)*k(i);
        if(ls(i))  k(ls(i))=max(k(ls(i)),k(i));
        if(rs(i))  k(rs(i))=max(k(rs(i)),k(i));
        if(ls(i))  query(ls(i),l,mid);
        if(rs(i))  query(rs(i),mid+1,r);
        return;
    }
}using namespace SegmentTree;

signed main()
{
    #ifndef ONLINE_JUDGE
        freopen("lty.in","r",stdin);
        freopen("lty.out","w",stdout);
    #endif
    n=read;
    int l,r,k;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        l=read,r=read-1,k=read;
        if(l>r)  continue;
        create(root,1,m,l,r,k);
    }
    query(root,1,m);
    write(ans);
    return 0;
}

---

\(T_C\) Promotion Counting

这才是真板子。

每个节点开一棵权值线段树，从下往上合并，查询比该节点的能力值大的牛个数即可。

$CODE$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define read read()
#define pt puts("")
inline int read
{
    int x=0,f=1;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9') {if(c=='-')  f=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9')   x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0',c=getchar();
    return f*x;
}
void write(int x)
{
    if(x<0)  putchar('-'),x=-x;
    if(x>9)  write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
    return;
}
#define N 100010
int n;
int p[N];
int t[N];
void LSH(){
    sort(t+1,t+n+1);
    int tt=unique(t+1,t+n+1)-t-1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        p[i]=lower_bound(t+1,t+tt+1,p[i])-t;
}

struct Edge{int next,to;}e[N<<1];
int tot,head[N];
void add(int u,int v){
    e[++tot]={head[u],v};
    head[u]=tot;
}
int ans[N];
namespace SegmentTree{
    int sum;
    int root[N];
    struct Tree{
        int ls,rs;
        int L,R;
        int pro;
        #define ls(i) tr[i].ls
        #define rs(i) tr[i].rs
        #define L(i) tr[i].L
        #define R(i) tr[i].R
        #define pro(i) tr[i].pro
    }tr[100000000];
    void create(int &rt,int x,int l,int r){
        if(!rt)  rt=++sum;
        L(rt)=l,R(rt)=r;
        if(l==r){
            pro(rt)=1;
            return;
        }
        int mid=(l+r)>>1;
        if(x<=mid)  create(ls(rt),x,l,mid);
        else  create(rs(rt),x,mid+1,r);
        pro(rt)=pro(ls(rt))+pro(rs(rt));
    }
    int merge(int x,int y){
        if(!x||!y)  return x+y;
        pro(x)+=pro(y);
        ls(x)=merge(ls(x),ls(y));
        rs(x)=merge(rs(x),rs(y));
        return x;
    }
    int ask(int rt,int l,int r){
        if(!rt)  return 0;
        if(l<=L(rt)&&R(rt)<=r)  return pro(rt);
        int res=0,mid=(L(rt)+R(rt))>>1;
        if(l<=mid)  res+=ask(ls(rt),l,r);
        if(r>mid)  res+=ask(rs(rt),l,r);
        return res;
    }
    void dfs(int x){
        for(int i=head[x];i;i=e[i].next){
            int y=e[i].to;
            dfs(y);
            root[x]=merge(root[x],root[y]);
        }
        ans[x]=ask(root[x],p[x]+1,n);
    }
}using namespace SegmentTree;

signed main()
{
    #ifndef ONLINE_JUDGE
        freopen("lty.in","r",stdin);
        freopen("lty.out","w",stdout);
    #endif
    n=read;
    for(int i=1;i<=n;i++)  t[i]=p[i]=read;
    LSH();
    for(int i=1;i<=n;i++){
        create(root[i],p[i],1,n);
    }
    for(int v=2;v<=n;v++){
        int u=read;add(u,v);
    }
    dfs(1);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        write(ans[i]),pt;
    return 0;
}

---

\(T_D\) 永无乡

怎么判断两个岛的联通情况？并查集维护。

• 对于B操作，合并两个点所在并查集对应的权值线段树。

• 对于Q操作，查询该并查集内第 \(k\) 大点，从节点 \(i\) 出发(如果有解的话)：

  • 如果 \(ls(i)\) 的点数大于 \(k\)，则第 \(k\) 大点一定在左子树内，递归查询。
  • 否则就是在右子树。

$CODE$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define read read()
#define pt puts("")
inline int read{
    int x=0,f=1;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9') {if(c=='-')  f=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9')   x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0',c=getchar();
    return f*x;
}
void write(int x){
    if(x<0)  putchar('-'),x=-x;
    if(x>9)  write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
    return;
}
#define N 100010
int n,m;
int w[N],id[N];
int fa[N];
int find(int x){
    if(fa[x]==x)  return x;
    return fa[x]=find(fa[x]);
}
namespace SegmentTree{
    struct Tree{
        int ls,rs,son;
        #define ls(i) tr[i].ls
        #define rs(i) tr[i].rs
        #define son(i) tr[i].son
    }tr[10000000];
    int cnt;
    int root[N];
    void create(int &i,int l,int r,int x){
        if(!i) i=++cnt;
        ++son(i);
        if(l==r)  return;
        int mid=(l+r)>>1;
        if(x<=mid)  create(ls(i),l,mid,x);
        else  create(rs(i),mid+1,r,x);
        return;
    }
    int merge(int x,int y){
        if(!x||!y)  return x+y;
        son(x)+=son(y);
        ls(x)=merge(ls(x),ls(y));
        rs(x)=merge(rs(x),rs(y));
        return x;
    }
    int ask(int i,int l,int r,int k){
        if(l==r)  return id[l];
        int mid=(l+r)>>1;
        if(son(ls(i))>=k)  return ask(ls(i),l,mid,k);
        else  return ask(rs(i),mid+1,r,k-son(ls(i)));
    }
}using namespace SegmentTree;

void link(int x,int y){
    x=find(x);y=find(y);
    if(x==y)  return;
    root[x]=merge(root[x],root[y]);
    fa[y]=fa[x];
}
int ans;
signed main()
{
    #ifndef ONLINE_JUDGE
        freopen("lty.in","r",stdin);
        freopen("lty.out","w",stdout);
    #endif
    n=read,m=read;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        w[i]=read;id[w[i]]=i;
        fa[i]=i;
        create(root[i],1,n,w[i]);
    }
    for(int i=1,a,b;i<=m;i++)  a=read,b=read,link(a,b);
    int T=read,x,y,k;
    for(int t=1;t<=T;t++){
        char op=getchar();while(op!='Q'&&op!='B')op=getchar();
        if(op=='B')  x=read,y=read,link(x,y);
        else{
            x=read,k=read;x=find(x);
            if(son(root[x])<k)  puts("-1");
            else  write(ask(root[x],1,n,k)),pt;
        }
    }
    return 0;
}

---

\(T_E\) 魔法少女LJJ

此题不难，但是很烦。

• 操作\(1\)，动态开点
• 操作\(2\)，并查集维护，线段树合并
• 操作\(3\)，从根节点出发，访问左右子树，如果 \(mid<x\)，那么左子树显然都要变成 \(0\)(可以直接把左儿子断掉，不用\(pushdown\))，注意这是权值线段树，然后我们用 \(sum\) 记录有多少个点被赋值为 \(0\)，再将 \(x\) 处 \(update\) 即可。
• 操作\(4\)，同上。
• 操作\(5\)，类似永无乡。
• 操作\(6\)，小技巧，将 \(a\times b\) 转化为 \(log_2(a\times b)=log_2(a)+log_2(b)\)，就不会爆了，值域缩小。但是注意开 \(double\)。
• 操作\(7\)，直接查询。
• 操作\(8、9\)，线段树分裂(口胡)，我们注意到 \(c\leq 7\)，出题人无意义行为 \(\dots\)

$CODE$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define read read()
#define pt puts("")
inline int read{
    int x=0,f=1;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9') {if(c=='-')  f=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9')   x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0',c=getchar();
    return f*x;
}
void write(int x){
    if(x<0)  putchar('-'),x=-x;
    if(x>9)  write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
    return;
}
const int N=400010;
const int M=1e9+5;
int m,n;
int sum;
int fa[N];
int find(int x){
    return (fa[x]==x?x:(fa[x]=find(fa[x])));
}

namespace Segment_Tree{
    struct Tree{
        int ls,rs,cnt;
        double lgsum;
        #define ls(i) tr[i].ls
        #define rs(i) tr[i].rs
        #define cnt(i) tr[i].cnt
        #define lgsum(i) tr[i].lgsum
    }tr[5000000];
    int rt[N];
    int tot;
    void pushup(int i){
        cnt(i)=cnt(ls(i))+cnt(rs(i));
        lgsum(i)=lgsum(ls(i))+lgsum(rs(i));
    }
    void create(int &i,int l,int r,int x){
        if(!i)  i=++tot;
        if(l==r){
            cnt(i)++;
            lgsum(i)=1.0*cnt(i)*log2(l);
            return;
        }
        int mid=(l+r)>>1;
        if(x<=mid)  create(ls(i),l,mid,x);
        else  create(rs(i),mid+1,r,x);
        pushup(i);
        return;
    }
    int merge(int x,int y,int l,int r){
        if(!x||!y)  return x+y;
        if(l==r){
            cnt(x)+=cnt(y);
            lgsum(x)=1.0*cnt(x)*log2(l);
            return x;
        }
        int mid=(l+r)>>1;
        ls(x)=merge(ls(x),ls(y),l,mid);
        rs(x)=merge(rs(x),rs(y),mid+1,r);
        pushup(x);
        return x;
    }
    void link(int a,int b){
        int A=find(a);int B=find(b);
        if(A==B)  return;
        rt[A]=merge(rt[A],rt[B],1,M);
        fa[B]=A;
    }
    void modify1(int i,int l,int r,int x){
        if(l==r)  return;
        int mid=(l+r)>>1;
        if(mid<x){
            sum+=cnt(ls(i));ls(i)=0;
            modify1(rs(i),mid+1,r,x);
        }
        else  modify1(ls(i),l,mid,x);
        pushup(i);
    }
    void modify2(int i,int l,int r,int x){
        if(l==r)  return;
        int mid=(l+r)>>1;
        if(mid>x){
            sum+=cnt(rs(i));rs(i)=0;
            modify2(ls(i),l,mid,x);
        }
        else  modify2(rs(i),mid+1,r,x);
        pushup(i);
    }
    void update(int &i,int l,int r,int x){
        if(!i)  i=++tot;
        if(l==r){
            cnt(i)+=sum;
            lgsum(i)=1.0*cnt(i)*log2(x);
            return;
        }
        int mid=(l+r)>>1;
        if(x<=mid)  update(ls(i),l,mid,x);
        else  update(rs(i),mid+1,r,x);
        pushup(i);
    }
    int ask(int i,int l,int r,int k){
        if(l==r)  return l;
        int mid=(l+r)>>1;
        if(k<=cnt(ls(i)))  return ask(ls(i),l,mid,k);
        return  ask(rs(i),mid+1,r,k-cnt(ls(i)));
    }
    
}using namespace Segment_Tree;

signed main()
{
    #ifndef ONLINE_JUDGE
        freopen("lty.in","r",stdin);
        freopen("lty.out","w",stdout);
    #endif
    m=read;
    for(int i=1;i<=m;i++)  fa[i]=i;
    int op,x,a,b,k;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        op=read;
        switch(op){
            case 1:
                x=read;
                create(rt[++n],1,M,x);
                break;
            case 2:
                a=read,b=read;
                link(a,b);
                break;
            case 3:
                a=read,x=read;
                a=find(a);sum=0;
                modify1(rt[a],1,M,x);
                update(rt[a],1,M,x);
                break;
            case 4:
                a=read,x=read;
                a=find(a);sum=0;
                modify2(rt[a],1,M,x);
                update(rt[a],1,M,x);
                break;
            case 5:
                a=read,k=read;
                a=find(a);
                write(ask(rt[a],1,M,k)),pt;
                break;
            case 6:
                a=read,b=read;
                a=find(a),b=find(b);
                puts(lgsum(rt[a])>lgsum(rt[b])?"1":"0");
                break;
            case 7:
                a=read;a=find(a);
                write(cnt(rt[a])),pt;
                break;
            default:break;
        }
    }
    return 0;
}

---

\(T_F\) 大根堆

\(DP\)题，先跑dfs到叶子节点，向上合并时判断是否选父节点，然后线段树上跑二分确定最大值域。

$CODE$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define read read()
#define pt puts("")
inline int read{
    int x=0,f=1;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9') {if(c=='-')  f=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9')   x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0',c=getchar();
    return f*x;
}
void write(int x){
    if(x<0)  putchar('-'),x=-x;
    if(x>9)  write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
    return;
}
#define N 200010
int n;
int v[N],fa[N];
int vv[N],num;
struct EDGE{int next,to;}e[N<<1];
int head[N],total;
void add(int u,int v){e[++total]={head[u],v};head[u]=total;}

namespace Segment_Tree{
    struct{
        int ls,rs,cnt;
        #define ls(i) tr[i].ls
        #define rs(i) tr[i].rs
        #define cnt(i) tr[i].cnt
    }tr[5000000];
    int rt[N],tot;
    void create(int &i,int l,int r,int L,int R){
        if(!i)  i=++tot;
        if(L<=l&&r<=R){
            cnt(i)++;
            return;
        }
        int mid=(l+r)>>1;
        if(mid>=L)  create(ls(i),l,mid,L,R);
        if(mid<R)  create(rs(i),mid+1,r,L,R);
        return;
    }
    int merge(int x,int y,int l,int r){
        if(cnt(x)<cnt(y))  swap(x,y);
        if(!x||!y)  return x+y;
        cnt(x)+=cnt(y);
        int mid=(l+r)>>1;
        ls(x)=merge(ls(x),ls(y),l,mid);
        rs(x)=merge(rs(x),rs(y),mid+1,r);
        return x;
    }
    int ask(int i,int l,int r,int k){
        if(!i)  return 0;
        int mid=(l+r)>>1;
        int res=cnt(i);
        if(k<=mid)  res+=ask(ls(i),l,mid,k);
        else  res+=ask(rs(i),mid+1,r,k);
        return res;
    }
    void dfs(int x){
        for(int i=head[x];i;i=e[i].next){
            int y=e[i].to;
            dfs(y);
            rt[x]=merge(rt[x],rt[y],1,num);
        }
        int ans1=ask(rt[x],1,num,v[x]-1)+1;
        int ans2=ask(rt[x],1,num,v[x]);
        if(ans1<=ans2)  return;
        int l=v[x],r=num,pos=v[x];
        while(l<=r){
            int mid=(l+r)>>1;
            if(ask(rt[x],1,num,mid)<ans1){
                l=mid+1;pos=mid;
            }
            else  r=mid-1;
        }
        create(rt[x],1,num,v[x],pos);
        return;
    }
}using namespace Segment_Tree;

signed main()
{
    #ifndef ONLINE_JUDGE
        freopen("lty.in","r",stdin);
        freopen("lty.out","w",stdout);
    #endif
    n=read;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        vv[i]=v[i]=read,fa[i]=read;
        if(fa[i])  add(fa[i],i);
    }
    sort(vv+1,vv+n+1);
    num=unique(vv+1,vv+n+1)-vv-1;
    for(int i=1;i<=n;i++)  v[i]=lower_bound(vv+1,vv+num+1,v[i])-vv;
    dfs(1);
    write(ask(rt[1],1,num,num));

    return 0;
}

---

\(T_G\) 领导集团问题

上题多倍经验，贺了 \(shadow\) 的 \(muiltiset\) 做法，比我的做法快了 \(3\) 倍。

https://www.cnblogs.com/The-Shadow-Dragon/p/18169047

$CODE$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define read read()
#define pt puts("")
inline int read{
    int x=0,f=1;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9') {if(c=='-')  f=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9')   x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0',c=getchar();
    return f*x;
}
void write(int x){
    if(x<0)  putchar('-'),x=-x;
    if(x>9)  write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
    return;
}
#define N 200010
int n;
int w[N];
struct EDGE{int next,to;}e[N<<1];
int head[N],total;
void add(int u,int v){e[++total]={head[u],v};head[u]=total;}
multiset<int>s[N];
multiset<int>::iterator it;

void merge(int x,int y){
    if(s[x].size()<s[y].size())  swap(s[x],s[y]);
    for(it=s[y].begin();it!=s[y].end();++it)
        s[x].insert(*it);
    s[y].clear();
}
void dfs(int x){
    for(int i=head[x];i;i=e[i].next){
        int y=e[i].to;
        dfs(y);
        merge(x,y);
    }
    s[x].insert(w[x]);
    it=s[x].lower_bound(w[x]);
    if(it!=s[x].begin())
        s[x].erase(--it);
    return;
}

signed main()
{
    #ifndef ONLINE_JUDGE
        freopen("lty.in","r",stdin);
        freopen("lty.out","w",stdout);
    #endif
    n=read;
    for(int i=1;i<=n;i++)  w[i]=read;
    int fa;for(int i=2;i<=n;i++)  fa=read,add(fa,i);
    dfs(1);
    write(s[1].size());
    return 0;
}

---

\(T_H\) 大融合

离线建树操作，跑 \(DFS\) 序。

根据 \(DFS\) 序建权值线段树，并查集维护连通状态。

• 对于A操作，合并两个点的并查集和线段树，在线加边。

• 对于Q操作，显然我们可以通过深度判断谁是父节点，这里我们令 \((u,v)\)，即 \(u\) 是 \(v\) 的父节点，设砍掉 \((u,v)\) 这条边后 \(u\) 所在树大小为 \(sumu\)，\(v\)的子树为 \(sumv\)，那么答案即为 \(sumu\times sumv\)。我们可以通过 \(DFS\) 序查出 \(v\) 的子树大小和 \(u,v\) 所在整棵树的节点数，答案显然。

$CODE$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define swap(x,y) (x^=y,y^=x,x^=y)
#define read read()
#define pt puts("")
#define int long long
inline int read{
    int x=0,f=1;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9') {if(c=='-')  f=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9')   x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0',c=getchar();
    return f*x;
}
void write(int x){
    if(x<0)  putchar('-'),x=-x;
    if(x>9)  write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
    return;
}
#define N 100010
int n,m;
struct operate{
    int op,u,v;
}q[N];
struct EDGE{int next,to;}e[N<<1];
int head[N],total;
void add(int u,int v){e[++total]={head[u],v};head[u]=total;}
bool exis[N];
int dfn[N],t;
int depth[N];
int out[N];
int id[N<<1];

void get_dfn(int x,int pre){
    depth[x]=depth[pre]+1;
    dfn[x]=++t;
    id[t]=x;
    for(int i=head[x];i;i=e[i].next){
        int y=e[i].to;
        if(y==pre)  continue;
        get_dfn(y,x);
    }
    out[x]=t;
}

int fa[N];
int find(int x){return (fa[x]==x?x:(fa[x]=find(fa[x])));}

namespace Segment_Tree{
    struct Tree{
        int ls,rs,cnt;
        #define ls(i) tr[i].ls
        #define rs(i) tr[i].rs
        #define cnt(i) tr[i].cnt
    }tr[5000000];
    int rt[N],tot;
    void pushup(int i){
        cnt(i)=cnt(ls(i))+cnt(rs(i));
    }
    void create(int &i,int l,int r,int x){
        if(!i)  i=++tot;
        if(l==r){
            cnt(i)++;
            return;
        }
        int mid=(l+r)>>1;
        if(x<=mid)  create(ls(i),l,mid,x);
        else  create(rs(i),mid+1,r,x);
        pushup(i);
        return;
    }
    int merge(int x,int y,int l,int r){
        if(!x||!y) return x|y;
        if(l==r){
            cnt(x)+=cnt(y);
            return x;
        }
        int mid=(l+r)>>1;
        ls(x)=merge(ls(x),ls(y),l,mid);
        rs(x)=merge(rs(x),rs(y),mid+1,r);
        pushup(x);
        return x;
    }
    int query(int i,int l,int r,int ql,int qr){
        if(!i)  return 0;
        if(ql<=l&&r<=qr)  return cnt(i);
        int mid=(l+r)>>1;
        int res=0;
        if(ql<=mid)  res+=query(ls(i),l,mid,ql,qr);
        if(qr>mid)  res+=query(rs(i),mid+1,r,ql,qr);
        return res; 
    }
} using namespace Segment_Tree;


signed main()
{
    #ifndef ONLINE_JUDGE
        freopen("lty.in","r",stdin);
        freopen("lty.out","w",stdout);
    #endif
    n=read,m=read;
    for(int i=1;i<=n;i++)  fa[i]=i;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        char c=getchar();while(c!='A'&&c!='Q') c=getchar();
        q[i].op=(c=='A'?0:1);
        q[i].u=read,q[i].v=read;
        exis[q[i].u]=exis[q[i].v]=1;
        if(c=='A')  add(q[i].u,q[i].v),add(q[i].v,q[i].u);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(!exis[i])  continue;
        if(!dfn[i]){
            // add(0,i),add(i,0);
            depth[i]=1;
            get_dfn(i,0);
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        create(rt[i],1,t,dfn[i]);
    }
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int u=q[i].u,v=q[i].v;
        if(depth[v]<depth[u])  swap(u,v);
        int uu=find(u),vv=find(v);
        if(!q[i].op){
            rt[uu]=merge(rt[uu],rt[vv],1,t);
            fa[vv]=uu;
        }
        else{
            int sum=cnt(rt[uu]);
            int sumv=query(rt[uu],1,t,dfn[v],out[v]);
            int sumu=sum-sumv;
            write(sumu*sumv);pt;
        }
    }

    return 0;
}

---

\(T_I\) base 基站选址

暂时不会。

DP(口胡)

$CODE$

---

\(T_J\) Minimax

暂时不会,以后也应该不会。

$CODE$