P4995 跳跳！

合集 - 洛谷刷题(36)

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31.P4995 跳跳！2024-09-22

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跳跳！

题目描述

你是一只小跳蛙，你特别擅长在各种地方跳来跳去。

这一天，你和朋友小 F 一起出去玩耍的时候，遇到了一堆高矮不同的石头，其中第 $i$ 块的石头高度为 $h_i$，地面的高度是 $h_0 = 0$。你估计着，从第 $i$ 块石头跳到第 $j$ 块石头上耗费的体力值为 $(h_i - h_j) ^ 2$，从地面跳到第 $i$ 块石头耗费的体力值是 $(h_i) ^ 2$。

为了给小 F 展现你超级跳的本领，你决定跳到每个石头上各一次，并最终停在任意一块石头上，并且小跳蛙想耗费尽可能多的体力值。

当然，你只是一只小跳蛙，你只会跳，不知道怎么跳才能让本领更充分地展现。

不过你有救啦！小 F 给你递来了一个写着 AK 的电脑，你可以使用计算机程序帮你解决这个问题，万能的计算机会告诉你怎么跳。

那就请你——会写代码的小跳蛙——写下这个程序，为你 NOIp AK 踏出坚实的一步吧！

输入格式

输入一行一个正整数 $n$，表示石头个数。

输入第二行 $n$ 个正整数，表示第 $i$ 块石头的高度 $h_i$。

输出格式

输出一行一个正整数，表示你可以耗费的体力值的最大值。

样例 #1

样例输入 #1

2
2 1

样例输出 #1

样例 #2

样例输入 #2

3
6 3 5

样例输出 #2

提示

样例解释

两个样例按照输入给定的顺序依次跳上去就可以得到最优方案之一。

数据范围

对于 $1 \leq i \leq n$，有 $0 < h_i \leq 10 ^ 4$，且保证 $h_i$ 互不相同。

对于 $10%$ 的数据，$n \leq 3$；

对于 $20%$ 的数据，$n \leq 10$；

对于 $50%$ 的数据，$n \leq 20$；

对于 $80%$ 的数据，$n \leq 50$；

对于 $100%$ 的数据，$n \leq 300$。

算法1

(贪心 + 双指针)

求最大消耗体力值

贪心策略：

1.地面到第i块石头消耗的体力值为$(h_i) ^ 2$。

使得$(h_i) ^ 2$的值最大，取$h_i$ 最大，因此从地面上跳到最高度即可

2.从第$i$块石头到第$j$块石头消耗的体力值为 $(h_i - h_j) ^ 2$,

要使$(h_i - h_j) ^ 2$值最大，那么取$h_j$值最小，使得差值变大，因此从最高的石头跳到最低的石头时消耗的体力值是最大的

这样我们每一次跳都跳出极限值，最终答案肯定是一个最大消耗体力值

证明：

(1) 贪心得到的解 <= 最优解

最后得到的最优解是所有可行方案中的最大值，而贪心得到的解是一组可行方案，因此可以得出(1)

(2) 贪心得到的解 >= 最优解

已知 $0 < h_1 < h_2 < h_3$

假设最优解是跳到h2

方案 1： $h_2 - > h_1 - > h_3$ （当前最优解）
方案 2： $h_3 - > h_1 - > h_2$ （贪心得到的解）

方案1的体力消耗值为： $2h_2^2 + h_3^2$

方案2的体力消耗值为： $2h_3^2 + h_2^2$

由于 $h_2 < h_3$ ，有 $h_3^2 < 2h_3^2$, 还有 $2h_2^2 < 2h_3^2$;

交换顺序之后，最大消耗体力值变大了

因此可以证明最优解 <= 贪心得到的解

证毕！

C++ 代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long
const int N = 310;

int n;
int a[N];

signed main(){
	scanf("%lld",&n);
	
	for(int i = 1; i <= n; i++){
		scanf("%lld",&a[i]);
	}
	
	//从小到大进行排序
	sort(a+1,a+1+n);
	
	int ans = a[n] * a[n];   //第1次跳的是最高位置
	
	int i = 1, j = n;
	while(i < j){
		ans += (a[j] - a[i]) * (a[j] - a[i]);   //跳到最低位置
		j -- ;   //跳到没调的地方中最高的
		ans += (a[i] - a[j]) * (a[i] - a[j]);   //最低的位置跳到最高位置
		i ++; 
	} 
	printf("%lld",ans);
	return 0 ;
}