P1621 集合

合集 - 洛谷刷题(36)

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收起

集合

题目描述

Caima 给你了所有 $[a,b]$ 范围内的整数。一开始每个整数都属于各自的集合。每次你需要选择两个属于不同集合的整数，如果这两个整数拥有大于等于 $p$ 的公共质因数，那么把它们所在的集合合并。

重复如上操作，直到没有可以合并的集合为止。

现在 Caima 想知道，最后有多少个集合。

输入格式

一行，共三个整数 $a,b,p$，用空格隔开。

输出格式

一个数，表示最终集合的个数。

样例 #1

样例输入 #1

10 20 3

样例输出 #1

7

提示

样例 1 解释

对于样例给定的数据，最后有 ${10,20,12,15,18},{13},{14},{16},{17},{19},{11}$ 共 $7$ 个集合，所以输出应该为 $7$。

数据规模与约定

• 对于 $80%$ 的数据，$1 \leq a \leq b \leq 10^3$。
• 对于 $100%$ 的数据，$1 \leq a \leq b \leq 10^5,2 \leq p \leq b$。

---

算法1

(筛法+并查集)

Q.什么是公共质因数?

该数为质数，同时是公共因子。

比如，3是6，9的公共质因子。

整体思路

运用并查集思想，一开始每一个数是一个独立的集合。

1.枚举所有大于等于p,且小于等于b的质数

判断质数的板子

  bool prime(int x)
  {
      bool flag = true;
      
      for(int i = 2; i <= x/i ; i++){
          if(x % i == 0) {
              flag = false;
              break;
          }
      }
      if(flag) return true;
      else return false;
  }

• 当x是一个很大的数的时候，每次调用sqrt(x)，速度慢
• 当i是一个接近于int的最大范围的时候 i*i 会溢出

2.找出该质素的所有倍数 - 合并为一个集合

3.当选取的两个数集合不同时，合并

4.优化： 标记所有已经属于某一个集合的数

5.最后，枚举所有根节点是自己的集合

C++ 代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 1e5+10;

int a,b,p;
int f[N];
bool mark[N];
int ans;

bool prime(int x)
{   
	bool flag = true;
	
	if(x == 2) return true; 
    for(int i = 2; i <= x/i; i++){
    	if(x % i == 0) {
    		flag = false;
    		break;
		}
	}
	if(flag) return 1;
	else return 0;
}
int find(int x)
{
	if(x!=f[x]) f[x] = find(f[x]);
	return f[x];
}
int main(){
	scanf("%d%d%d",&a,&b,&p);
	
	for(int i = 1; i <= b; i ++) f[i] = i;
	
	//从p 开始枚举所有大于等于p且小于等于b的质数 
	for(int i = p; i <= b; i++){
		//已经属于某一个集合，则跳过 
		if(mark[i]) continue;
	    if(prime(i)){
	    	mark[i] = true;
	    	//找出所有p的倍数 
	    	for(int j = 2; i * j <=b; j++){
	    		if(i * j < a) continue;
	    		mark[i * j] = true;
	    		int f1 = find(i), f2 = find(i*j);
	    		if(f1 != f2) f[f1] = f2; //合并 
			}
		}
	}
    
   for(int i = a; i <= b;i ++){
   	  if(i == f[i]) ans++;
   } 
   cout << ans << endl;
   return 0;
}

---