【改题】Public Round1A 删数

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题目

给定一个长为 \(n\) 的正整数序列 \(a_1,⋯,a_n\) 。

你可以进行若干次操作，每次操作你可以选择一个位置 \(i∈[2,n−1]\) 使得 \(a_i= \frac{a_{i−1}+a_{i+1} }{2}\)，随后将 \(a_i\) 删去，之后的数按顺序向前补空位。

求若干次操作后序列长度最小可以是多少。

题解

现在我已经可以想到差分了，把数组差分后，问题转化为每次合并两个相邻相同的数为它们之和，那就有一些性质：每次合并后这个数相当于变成原来的两倍，所以一个数只会和它的\(2\)的幂次倍合并，一个数被合并的次数为\(log\) 次。

我没做出来的原因是因为忘记了一个“决策”的概念，而一味的在想如何线段树dp，线段树dp的问题在于，我只记录上一个块的大小， 但是这个块和上一个合并之后还能继续往前合并， 这个东西不好记录也不好转移，导致我的思路完全错了。

实际上呢，最终合并出来的序列，每个块都是由一段连续的块合并出来的，我们把要合并出这个块，看作那一段块中最后一个的决策，这样就可以进行转移了，同时一个块至多合并\(log\)次， 所以只有\(log\)种不同的决策，复杂度也是正确的。

具体来讲我们设\(f_i\)表示前 \(i\) 个数合并出的最小块数， 转移次枚举第\(i\)个块被合并了多少次即可。

然后这里还要一个很妙的dp， 记 \(g_{i, j}\) 表示第\(i\)个块往左合并\(j\)次需要的左端点， 转移一下即可。

学到了