CF341C. Iahub and Permutations

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题意

给你一个排列，其中有些位置为 \(-1\)，表示这个位置的数被挖掉了， 你现在要填上这些数，使得结果是一个\(a_i \neq i\) 的排列。
问合法方案数。

题解

就只写做法的了。

考虑把没出现的数字一个一个填进去， 我们发现不同数字之间是没有区别的，唯一的区别是有些数字受限制， 而有些可以随便填。
比如说， 对于一个数字 \(x\)， 这个数字不能放在第\(x\)个, 假如还有 \(m\) 个位置可以填入， 那么这个数字只能填入其中 \(m-1\) 个位置， 但是：如果\(x\)位置上已经有数字填进去了， 那么这个数字就不受限制了， 它可以填入剩下的 \(m\) 个位置中。

记 \(f_{i, j}\) 表示还要填入 \(i\) 个数字， 其中 \(j\) 个是受限制的， 其他可以随便填。有：

\[ f_{i,0} = i! \]

\[ f_{i, j} = (i-j) f_{i-1, j-1} + (j-1) f_{i-1, j-2} \]

如何理解第二条式子？对于每个受限的数都有一个受限的位置， 考虑每次取第一个受限的位置， 往里面放一个数， 有两种情况：

假如放入的是一个不受限的数， 那么不能放在这个位置的那个数现在就不受限了， 所以 \(j-1\)

假如放入的是另一个受限的数， 那么就少了1个受限的数，因为他被放了， 然后又因为原本那个数不受限了， 所以是 \(j-2\)

就这样了

实现

#include <iostream>
#include <cstdio>
#define ll long long
using namespace std;

int read(){
    int num=0, flag=1; char c=getchar();
    while(!isdigit(c) && c!='-') c=getchar();
    if(c == '-') c=getchar(), flag=-1;
    while(isdigit(c)) num=num*10+c-'0', c=getchar();
    return num*flag;
}

const int N = 2005;
const ll mod = 1e9+7;
int n, a[N], vis[N];
ll f[N][N];

int main(){
    n = read();
    for(int i=1; i<=n; i++) a[i]=read();
    f[0][0] = 1;
    for(int i=1; i<=n; i++) f[i][0] = f[i-1][0]*i%mod;
    for(int i=1; i<=n; i++){
        for(int j=1; j<=i; j++){
            f[i][j] = f[i-1][j-1] * (i-j) % mod;
            if(j > 1) f[i][j] = (f[i][j] + (j-1) * f[i-1][j-2]) % mod;
        }
    }
    int cnt1=0, cnt2=0;
    for(int i=1; i<=n; i++) if(a[i] != -1) vis[a[i]]=1;
    for(int i=1; i<=n; i++) if(a[i] == -1) cnt1++, cnt2+=!vis[i];
    printf("%d\n", f[cnt1][cnt2]); 
    return 0;
}