圆锥曲线学习笔记

圆锥曲线学习笔记

前言

我认为解析几何是很好的， 但现在要背道而驰， 是因为解析几何的目的并非理解， 而是机械的计算。

我的计算能力很弱， 大量的无脑计算并不适合我， 并且我要考试，感性的理解对于我来说是非常重要的，我希望用尽可能少的结论来解决问题， 而且是容易证明的， 容易理解的。

在我学习圆锥曲线的过程中， 光是推到一个标准式就用需要用一堆两点距离公式， 令人费解。 推出来的东西毫无意义可言， 这不是我能记住的

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想要完全忘记很难， 也无法用于考试， 所以：我将会尽可能保留原有公式， 用新的定义和出发点来解释已有的概念， 而非直接抛弃

毕竟我要考试， 唉， 好累

那开始吧 于 2021.11.22 NOIP结束后， 暂时回归whk

椭圆

定义

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先是椭圆， 我们暂且抛弃你所知道的椭圆，换个定义：

椭圆是将一个圆在坐标上进行拉伸后产生的图形，

形式化的说， 对于一个圆\(O\)， 所有满足\((x, y) \in O\) 的点\((P_xx, P_yy)\)构成一个拉伸率为\((P_x, P_y)\)的椭圆， 记为\(E(O, P_x, P_y)\), 我们将圆\(O\)称为初始圆

其中\(P_x, P_y\)为两个常量， 分别表示\(x， y\)轴的拉伸率。即便我们可以把任意圆拉伸成任意椭圆， 我们还是习惯把单位圆作为初始圆，通常我们用\(E(P_x, Py)\)表示一个初始圆为单位元的椭圆， 这时候，我们只要两个变量就可以唯一确定一个椭圆，（当然，这是在没有考虑位置的情况下

这样做是对的， 这里给出证明

我们认为当\(a>0, b>0, a \neq b\)时，

\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]

表示一个椭圆，这是椭圆的标准式， 不再证明

对于\(E(P_x, P_y)\)中的每一个点\((x, y)\), 在初始圆中的对应点为\((\frac{x}{P_x}, \frac{y}{P_y})\), 由于初始圆为单位圆，有

\[(\frac{x}{P_x})^2 + (\frac{y}{P_y})^2 = 1 \]

容易发现， 这就是椭圆的标准方程

证毕

让我们看看这样做的好处， 首先我们很好的理解了究竟什么是椭圆， 许多公式定理逐渐清晰

首先， 为什么\(a>0, b>0, a \neq b\)? 因为a，b实质上就是拉伸率，拉伸率显然不能是负数或零， 同时， 若果拉伸率相同， 显然只是将圆放大了，（事实上我认为这个条件是多余的， 圆可以认为是特殊的椭圆， 事实上一点也不特殊

我们知道：长轴在分母大的的那个轴上， 这是因为拉伸率越大， 对应的轴也越长， 极其容易证明

接下来， 我们要善用这个定义， 尤其是他的几何意义。

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