数论学习笔记
数论学习笔记
写在前面：
笔者一向认为，证明是学习数学的重中之重。证明不仅是一个逆向的过程，它可以成为一种正向的灵感， 或者方法， 或者技能， 可以推导出新的结论。数学不是一门面向结论的学科， 恰恰相反他是面向
对象过程的。
然而， 笔者能力有限，不一定有精力给出所有证明， 所以：在一开始，我可能会仅限于结论， 或者只是感性的，不完全严谨的证明。因为这是一篇学习笔记， 证明会随着读者能力的提升不断完善，对算法的理解也会不断加深，而不急于一时。
毕竟， 暂时跳过是个不错的方法
但是， 在学习过程还是不能面向结论， 思想一定是学习的重点。
笔者过菜，本文仅写给自己复习用
2021.8.21
最大公因数、最小公倍数 GCD/LCM
\(gcd\): 两个整数的最大公因子是能整除它们的最大整数
首先我们有：
\(\gcd(0, n) = n\)
\(\gcd(a, b) = \gcd(b, a \ mod \ b)\)
证明
对a, b的每个因子d, d|a且d|b, 所以d|(a mod b) (这等价于a - floor(a/b))
所以， 对于a，b的每个公因子，其必然也是b与a mod b 的公因子。故等式成立
然后我们有斐蜀定理，以及扩展欧几里得（这些放在另一篇博客了...）
\(ax + by = c\) 有解 \(\Leftrightarrow\) \(\gcd(a, b) \mid c\)
\(k \mid m , k\mid n \Leftrightarrow k \mid \gcd(m, n)\)
证明
首先, 任意 xm+yn 都可以被 k 整除, 而一定存在 xm+yn=gcd(m, n)
所以 k | gcd(m, n)
这时候一个重要的小定理就有了
\(\forall d \mid m, d\mid n\) ， \(d \mid \gcd(m, n)\)
之前我们只知道gcd是最大的公因子，现在我们还知道任意公因子都能整除gcd
素数 Primes
首先： 素数是所有正整数的基本构造元素， 这是素数如此重要的原因 (素数是不可再分裂的)
任何正整数都可以表示为若干素数的乘积
然后，我们有算术基本定理：
有且仅有一种方式，将n分解为素数的乘积
也就是说， 不会有两组不同的素数，他们乘积相同，显然：这不是显然的。
证明
我们先证个简单的， 不同的两个素数无法得到相同的乘积。
ab = cd (a,b,c,d 是素数)
所以：gcd(a, c) = 1;
所以存在pa+qc = 1，
此时，(pa+qc)d = d
pad + qcd = d
显然: a|pad，a|qcd, 所以q|d,
显然不成立， 证毕
同样的思路， 归纳一下就可证明我们的算术基本定理，但这不是重点，
重点是证明的思路，
我们有两组素数，乘积相同，
我们从中选出两个， 由于它们互素， 有pa+qb = 1
由此我们可以构造出一组素数，它可以被另一组素数中的一个整除，从而反证
仔细想想看？
以后我们的证明思路就是这样了，先逆向，后正向。
然而正向难以表达， 需要读者仔细思考：这样做的原理是什么， 为什么要这样做， 怎么才能想到这样做， 什么时候应该想到这样做
形式化得来说：
容易发现， 两数相乘， 可以表示为对应素数的指数相加
\(k=mn\Leftrightarrow k_p = m_p + n_p\)
\(m \mid n \Leftrightarrow m_p \leq n_p\)
然后就出现一个令我叹为观止的结论
\(k=\gcd(m, n) \Leftrightarrow k_p = \min(m_p, n_p)\)
\(k = \text{lcm}(m, n) \Leftrightarrow k_p = \max(m_p, n_p)\)
这是因为：gcd是能整除它们的最大整数， 每一位素数也要能够整除它们， lcm也是同理
这时候，我们终于意识到素数有着多么美妙的性质了：它不可再分！能整除它的只有1和他自己
互素
我们记\(a \perp b\) 表示a与b互素， 也就是 \(\gcd(a, b) = 1\), a和b，a, b没有公共的素因子
于是，我们有：
\(a/gcd(a, b) \perp b/gcd(a, b)\)
\(a \perp b \Leftrightarrow min(a_p, b_p)=0\)
\(a \perp b \Leftrightarrow a_pb_p = 0\)
进一步
\(k\perp a , k\perp b \Leftrightarrow k \perp ab\)
同余
记 \(a \equiv b \pmod{m}\) 表示\(a\)关于模\(m\)与\(b\)同余
它有如下性质
\(a \equiv b \Rightarrow b \equiv a\)
\(a \equiv b \equiv c \ \Rightarrow a \equiv c\)
\(a \equiv b, c\equiv d \ \Rightarrow \ a+c\equiv b+d\)
\(a \equiv b, c\equiv d \ \Rightarrow \ ac\equiv bd\)
\(a \equiv b \ \Rightarrow \ a^n \equiv b^n\)
