时间复杂度和空间复杂度

时间复杂度

简单理解，为了某种运算而花费的时间，使用大写O表示。一般来讲，时间是一个不太容易计量的维度，而为了计算时间复杂度，通常会估计算法的操作单元数量，而假定每个单元运行的时间都是相同的。因此，总运行时间和算法的操作单元数量一般来讲成正比，最多相差一个常量系数。一般来讲，常见时间复杂度有以下几种：

1. 常数阶O(1)：时间与数据规模无关，如交换两个变量值

   int i=1,j=2,k
   k=i;i=j;j=k;
   

2. 线性阶O(n)：时间和数据规模呈线性，可以理解为n的1次方，如单循环里的操作

   for(i=1;i<=n;i++){
       do();
   }
   

3. k次方阶O(n^k)：执行次数是数量的k次方，如多重循环，以下为2次方阶实例

   for(i=1;i<=n;i++){
       for(j=1;j<=n;j++){
           do();
       }
   }
   

4. 指数阶O(2ⁿ )：随着n的上升，运算次数呈指数增长

5. 对数阶O(log₂n)：执行次数呈对数缩减

6. 线性对数阶O(nlog₂n)：在对数阶的基础上，进行线性n倍乘积

时间复杂度由小到大依次为：Ο(1)＜Ο(log₂n)＜Ο(n)＜Ο(nlog₂n)＜Ο(n²)<...＜Ο(n^k)＜Ο( 2ⁿ)＜Ο(n!)

空间复杂度

与时间复杂度类似，空间复杂度是对一个算法在运行过程中占用内存空间大小的度量。一个程序执行时除了需要存储空间和存储本身所使用的指令、常数、变量和输入数据外，还需要一些对数据进行操作的辅助空间。而空间复杂度主要指的是这部分空间的量级。

• 固定空间：主要包括指令空间、常量、简单变量等所占的空间，这部分空间的大小与运算的数据多少无关，属于静态空间。
• 可变空间：主要包括运行期间动态分配的临时空间，以及递归栈所需的空间等，这部分的空间大小与算法有很大关系。

for(i=1;i<=n;){
i=2^i;
do();
}
for(i=1;i<=2^n;i++){
for(j=1;j<=n;j++){
do();
}
}

同样，空间复杂度也用大写O表示，相比时间复杂度场景相对简单，常见级别为O(1)和O(n)，以数组逆序为例，两种不同算法对复杂度影响如下：

1. O(1)：常数阶，所占空间和数据量大小无关。

   //定义前后指针，和一个临时变量，往中间移动
   //无论a多大，占据的临时空间只有一个temp
   int[] a={1,2,3,4,5};
   int i=0,j=a.length‐1;
   while (i<=j){
       int temp = a[i];
       a[i]=a[j];
       a[j]=temp;
       i++;
       j‐‐;
   }
   

2. O(n)：线性阶，与数据量大小呈线性关系

   //定义一个和a同等大小的数组b，与运算量a的大小呈线性关系
   //给b赋值时，倒序取a
   int[] a={1,2,3,4,5};
   int[] b=new int[a.length];
   for (int i = 0; i < a.length; i++) {
       b[i]=a[a.length‐1‐i];
   }
   

总结

对于一个算法，其时间复杂度和空间复杂度往往是相互影响的。时间复杂度低可能借助占用大的存储空间来弥补，反之，某个算法所占据空间小，那么可能就需要占用更多的运算时间。两者往往需要达到一种权衡。

在特定环境下的业务，还需要综合考虑算法的各项性能，如使用频率，数据量的大小，所用的开发语言，运行的机器系统等。两者兼顾权衡利弊才能设计出最适合当前场景的算法。