欧拉回路
如果图G中的一个路径包括每个边恰好一次,则该路径称为欧拉路径(Euler path)。
如果一个回路是欧拉路径,则称为欧拉回路(Euler circuit)。
具有欧拉回路的图称为欧拉图(简称E图)。具有欧拉路径但不具有欧拉回路的图称为半欧拉图。
——度娘
而哈密顿路是指一条路径不重复经过每一个顶点
大佬们的博客
无向图存在欧拉回路的充要条件
一个无向图存在欧拉回路,当且仅当该图所有顶点度数都为偶数,且该图是连通图。
存在欧拉路的条件:有且只有两个点的度为一,且这两个点分别为起点和终点;
有向图存在欧拉回路的充要条件
一个有向图存在欧拉回路,所有顶点的入度等于出度且该图是连通图。
存在欧拉路的条件:存在一个点出度比入度多一作为起点,存在一点入度比出度多一作为终点,其余点出度等于入度;
混合图存在欧拉回路条件
要判断一个混合图G(V,E)(既有有向边又有无向边)是欧拉图,方法如下:
假设有一张图有向图G',在不论方向的情况下它与G同构。并且G'包含了G的所有有向边。那么如果存在一个图G'使得G'存在欧拉回路,那么G就存在欧拉回路。
其思路就将混合图转换成有向图判断。实现的时候,我们使用网络流的模型。现任意构造一个G'。用Ii表示第i个点的入度,Oi表示第i个点的出度。如果存在一个点k,|Ok-Ik|mod 2=1,那么G不存在欧拉回路。接下来则对于所有Ii>Oi的点从源点连到i一条容量为(Ii-Oi)/2的边,对于所有Ii<Oi的点从i连到汇点一条容量为(Oi-Ii)/2的边。如果对于节点U和V,无向边(U,V)∈E,那么U和V之间互相建立容量为1的边。如果此网络的最大流等于∑|Ii-Oi|/2,那么就存在欧拉回路。