Environment Lighting2

Shadow from environment lighting:工业界一般采用环境光中较为明显的阴影作为主要阴影，也就是一个阴影或者两个三个左右，由于每一个着色点都要考虑着色和阴影，所以不能直接使用采样的方法，这里使用效率更好的方法PRT。

傅里叶级数展开：一个函数可以由非常多的sin和cos函数表示，这些cos又叫做基函数。

product integral：这个式子是一种卷积计算，也是filtering，得到结果的频率由式子中最低频率的部分决定

 

 Basis Functions：可以表示出其他函数的一系列函数。其中B_i(x)就是基函数。

 

 Spherical Harmonics：定义在球面上的一系列二维的基函数，这些基函数可以看作是球面上的点，这些点可以用θ和φ表示。图形表示出Spherical Harmonics，每一层的频率都不一样。

 

 Spherical Harmonics的各项可以用数学式表达。一个二维函数的基函数系数可以用product integral立马算出来

 

Prefilter:Prefilter+一次查询等于没有filter加上多次查询求平均

 

 在render Equation中，L和BRDF和cos项，其中cos和BRDF看作一体，也就是光源L和BRDF项的积分，同时也是product integral，由于光有高频率和低频率，但BRDF在diffuse时的频率很低，所以在diffuse时render Equation的频率只由BRDF决定，也就是一个低通滤波器。

diffuse时的BRDF投影到Spherical Harmonics，基本可以用前三阶表示。

 

 由于在diffuse时render Equation的频率只由BRDF决定，光照的高频就没有用，所以可以用前三阶的Spherical Harmonics来近似光照，也能得到非常好的效果。这也是Spherical Harmonics的应用。

 

 在计算环境光下的阴影时，如果通过直接计算积分的方式，会非常费力，所以这时使用其他方法来计算

 Precomputed Radiance Transfer：把L(i)作为lighting项，后面作为light transport项，整体上分为两项。其中光照是二维，由于看的方向是固定的，所以BRDF也是二维的， V(i)也是二维的。L(i)用基函数近似表示。

 

在diffuse的情况下，BRDF是常数，可直接提取到积分外，这时积分内就剩下光照和visibility项，visibility项和cos也就是light transport，然后用基函数近似光照，把求和符号拿到积分限外，l_i作为常数也拿到积分外，积分内就是基函数乘以light transport，这种情况也就是light transport投影到基函数上，得到的结果就是常数，所以这里可以进行预计算，在它们都是不变的情况下，即场景不变visibility项不变，光照也不变。此时的积分结果就是一个数，最终的结果也就是一个点乘了。所以PRT的代价也就是如果场景变化了，就需要重新计算。PRT的使用情况也就是diffuse和场景中物体不变。对于光照，可以预计算不同的光照，比如室内光照和室外光照，只需要改变对应基函数的系数就可以了，但时如果光照发生旋转，就要用Spherical Harmonics来算出旋转后的结果。

 光照在发生旋转后，由SH基函数近似的光照，其基函数会发生变化，SH基函数会由同阶的基函数线性组合成，所以可以非常迅速的完成光照的旋转操作。

 

之前是把lighting投影到SH上，现在把lighting and light transport都投影到SH上

 

 得到下图的结果

 

 之前的PRT是在diffuse的情况下，如果在Glossy下，BRDF是四维的，不再是常数。此时把lighting and light transport投影到SH上，light transport会有问题，得到的结果是一个关于视角方向的函数T_i(o)，此时把T_i(o)再投影到SH上，得到的基函数前面的系数是一个二维矩阵。然后着色结果的前面的系数部分就是向量乘矩阵。