棋盘覆盖问题原理及演示程序

说明：文章内容源自电子工业出版社《计算机算法设计与分析》一书。演示程序由本人完成，新手请多指教!

在一个2^k * 2^k个方格组成的棋盘中，若恰有一个方格与其它方格不同，则称该方格为一特殊方格，称改棋盘为一特殊棋盘。显然特殊方格在棋盘上出现的位置有4^k种情形。因而对任何k>=0，有4^k种不同的特殊棋盘。下图所示的特殊棋盘为k=2时16个特殊棋盘中的一个。

在棋盘覆盖问题中，要用下图中4中不同形态的L型骨牌覆盖一个给定的特殊棋牌上除特殊方格以外的所有方格，且任何2个L型骨牌不得重叠覆盖。易知，在任何一个2^k * 2^k的棋盘中，用到的L型骨牌个数恰为(4^k-1)/3。

用分治策略，可以设计解棋盘问题的一个简捷的算法。

当k>0时，将2^k * 2^k棋盘分割为4个2^(k-1) * 2^(k-1)子棋盘，如下图所示。

特殊方格必位于4个较小子棋盘之一中，其余3个子棋盘中无特殊方格。为了将这3个无特殊方格的子棋盘转化为特殊棋盘，我们可以用一个L型骨牌覆盖这3个较小的棋盘的汇合处，如下图所示，这3个子棋盘上被L型骨牌覆盖的方格就成为该棋盘上的特殊方格，从而将原问题化为4个较小规模的棋盘覆盖问题。递归的使用这种分割，直至棋盘简化为1x1棋盘。