前缀和与差分 降低时间复杂度
5.前缀和类型问题与差分问题
5.1前缀和
796.子矩阵的和
输入一个n行m列的整数矩阵，再输入q个询问，每个询问包含四个整数x1, y1, x2, y2，表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。
对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。
输入格式
第一行包含三个整数n，m，q。
接下来n行，每行包含m个整数，表示整数矩阵。
接下来q行，每行包含四个整数x1, y1, x2, y2，表示一组询问。
输出格式
共q行，每行输出一个询问的结果。
数据范围
1≤n,m≤10001≤n,m≤1000,
1≤q≤2000001≤q≤200000,
1≤x1≤x2≤n1≤x1≤x2≤n,
1≤y1≤y2≤m1≤y1≤y2≤m,
−1000≤矩阵内元素的值≤1000−1000≤矩阵内元素的值≤1000
输入样例：
3 4 3
1 7 2 4
3 6 2 8
2 1 2 3
1 1 2 2
2 1 3 4
1 3 3 4
输出样例：
17
27
21
思路：做一个和矩阵s
sij = sum(a11+a12......aij)
边界问题：1.填充矩阵的时候不要从0开始，要从1开始，这样 s[i][j]+=s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1]+x[i][j];就不会越界
2.s[x2][y2]-s[x1-1][y2]-s[x2][y1-1]+s[x1-1][y1-1]这里s[x1-1][y2]不是s[x1][y2]，记得是-1，因为s[x][y]代表的不是节点，是要运算的方格，画个图就明白了。
为什么要用和矩阵？
因为若用简单的暴力算法，如果查询次数很多的话，每次都要重新计算和。和矩阵就类似于一个memo，保存已经运算过的值。
#include<iostream>
using namespace std;
int x[1010][1010];
int s[1010][1010];
int main(){
int m;
int n;
int querry = 0;
cin>>m>>n>>querry;
for(int i = 1; i<=m; i++)
for(int j = 1; j<=n; j++)
cin>>x[i][j];
//初始化前缀和数组
for(int i = 1; i<=m; i++)
for(int j = 1; j<=n; j++)
s[i][j]+=s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1]+x[i][j];
while(querry--){
int x1,x2,y1,y2;
cin>>x1>>y1>>x2>>y2;
cout<<s[x2][y2]-s[x1-1][y2]-s[x2][y1-1]+s[x1-1][y1-1]<<endl;
}
}
=========================================================================================================
5.2差分
797.差分
输入一个长度为n的整数序列。
接下来输入m个操作，每个操作包含三个整数l, r, c，表示将序列中[l, r]之间的每个数加上c。
请你输出进行完所有操作后的序列。
输入格式
第一行包含两个整数n和m。
第二行包含n个整数，表示整数序列。
接下来m行，每行包含三个整数l，r，c，表示一个操作。
输出格式
共一行，包含n个整数，表示最终序列。
数据范围
1≤n,m≤1000001≤n,m≤100000,
1≤l≤r≤n1≤l≤r≤n,
−1000≤c≤1000−1000≤c≤1000,
−1000≤整数序列中元素的值≤1000−1000≤整数序列中元素的值≤1000
输入样例：
6 3
1 2 2 1 2 1
1 3 1
3 5 1
1 6 1
输出样例：
3 4 5 3 4 2
思路：很类似于积分
因为要涉及到大量的写入，时间复杂度每次插入为O(n),若有x插入，时间复杂度为xO(n),非常耗时。这个时候，采取拆分措施。
使b为a的拆分，若a要在l~r处均加v，只需要在b[l]+v，使其恢复前缀和的时候影响**l末尾**的数据，并在b[r+1]处减去v，使其抵消r末尾的不需要的增加。重复很多次之后，最终b前缀和化，便可以直接得到答案。
该方案的时间复杂度为 xO(1);
#include<iostream>
using namespace std;
int a[100010];
int b[100010];
int main() {
int m;
int q;
cin >> m >> q;
//边界问题 左留1
for (int i = 1; i <= m; i++) cin >> a[i];
//边界问题 构建拆分数组b
for (int i = 1; i <= m; i++) b[i] = a[i] - a[i - 1];
while (q--) {
int l, r, v;
cin >> l>>r>> v;
//l+ r-
b[l] += v;
b[r + 1] -= v;
}
//由拆分数组重构前缀和，得到累加后的数组
for (int i = 1; i <= m; i++) b[i] = b[i] + b[i - 1];
for (int i = 1; i <= m; i++) cout << b[i] << " ";
}
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798.差分矩阵
输入一个n行m列的整数矩阵，再输入q个操作，每个操作包含五个整数x1, y1, x2, y2, c，其中(x1, y1)和(x2, y2)表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。
每个操作都要将选中的子矩阵中的每个元素的值加上c。
请你将进行完所有操作后的矩阵输出。
输入格式
第一行包含整数n,m,q。
接下来n行，每行包含m个整数，表示整数矩阵。
接下来q行，每行包含5个整数x1, y1, x2, y2, c，表示一个操作。
输出格式
共 n 行，每行 m 个整数，表示所有操作进行完毕后的最终矩阵。
数据范围
1≤n,m≤10001≤n,m≤1000,
1≤q≤1000001≤q≤100000,
1≤x1≤x2≤n1≤x1≤x2≤n,
1≤y1≤y2≤m1≤y1≤y2≤m,
−1000≤c≤1000−1000≤c≤1000,
−1000≤矩阵内元素的值≤1000−1000≤矩阵内元素的值≤1000
输入样例：
3 4 3
1 2 2 1
3 2 2 1
1 1 1 1
1 1 2 2 1
1 3 2 3 2
3 1 3 4 1
输出样例：
2 3 4 1
4 3 4 1
2 2 2 2
思路：
求差分矩阵：容易得出 b[i][j] = a[i][j]-a[i-1][j]-a[i][j-1]+a[i-1][j-1];
矩阵变换步骤：
在b[i][j]处加上v，等于在前缀和矩阵中b[i][j]右下角的所有点全部加上v，所以只要在(x1+1,y2),(x2,y1+1)，(x1,y1)加上v，然后再在(x2+1,y2+1)处减去v即可完成矩阵的变化。
求差分矩阵的前缀和，也就是答案：b[i][j]+= b[i-1][j]+b[i][j-1]-b[i-1][j-1];
时间复杂度分析：假设每次更改n个元素，共更改m次。
则暴力做法的时间复杂度为 mO(n)
使用差分矩阵的做法为 mO(1)
#include<iostream>
using namespace std;
//前缀和矩阵
int a[1010][1010];
int b[1010][1010];
int main(){
int n,m,q;
cin>>n>>m>>q;
for(int i = 1; i<=n; i++)
for(int j = 1; j<=m; j++)
cin>>a[i][j];
//构建拆分矩阵
for(int i = 1; i<=n; i++)
for(int j = 1; j<=m; j++)
b[i][j] = a[i][j]-a[i-1][j]-a[i][j-1]+a[i-1][j-1];
//插入元素
while(q--){
int x1,y1,x2,y2,v;
cin>>x1>>y1>>x2>>y2>>v;
b[x1][y1]+=v;
b[x1][y2+1]-=v;
b[x2+1][y1]-=v;
b[x2+1][y2+1]+=v;
}
//求b的前缀矩阵，恢复
for(int i = 1; i<=n; i++)
for(int j = 1; j<=m; j++)
b[i][j]+= b[i-1][j]+b[i][j-1]-b[i-1][j-1];
//输出
for(int i = 1; i<=n; i++){
for(int j = 1; j<=m; j++)
cout<<b[i][j]<<" ";
cout<<endl;
}
}
