斐波纳契数列

斐波纳契数列相关问题

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【通项公式】

 

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【迭代实现】

int Fib5(int index){

            if(index<1) {return-1;}

            int a1=1,a2=1,a3=1;

            for(int i=0;i<index-2;i++) {

                a3=a1+a2; a1=a2; a2=a3;

            }

            return a3;

}

 

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【矩阵法】

算Fibonacci数精确值的最快的方法。

F(n)和F(n - 1)写成一个2x1的矩阵

[FnFn−1]=[Fn−1+Fn−2Fn−1]=[1×Fn−1+1×Fn−21×Fn−1+0×Fn−2]=[1110]×[Fn−1Fn−2]

 

[FnFn−1]=[1110]n−1×[F1F0]=[1110]n−1×[10]

 

关键点，幂运算可以【二分加速】。

设有一个方阵a，利用分治法求a的n次方，有：

an={an/2×an/2a(n−1)/2×a(n−1)/2×a, if x is even, if x is odd

可见复杂度满足T(n) = T(n / 2) + O(1)，根据Master定理可得：T(n) = O(log n)。

 

总结：二阶方阵相乘一次可以看成是常数时间（虽然这个常数会比较大），因此整个算法的时间复杂度是O(log n)，空间复杂度是O(1)。

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