题解 CF1996D Fun

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$\mathtt{\text{Describe}}$

给定两个整数 $n,x$，求满足 $ab+bc+ac\le n$ 且 $a+b+c\le x$ 的正整数三元组 $(a,b,c)$ 的个数。

$\mathtt{\text{Solution}}$

首先考虑暴力：枚举 $a,b$，可推出 $c$ 的取值范围：

• 对于 $ab+bc+ac\le n$，我们稍微变形：$(a+b)c\le n-a\times b$，左右除 $(a+b)$：$c\le \frac{n-a\times b}{a+b}$。

• 对于 $a+b+c\le x$，变形得：$c\le x-a-b$。

根据不等式的性质（同大取大，同小取小）：$1\le c\le min(x-a-b,\frac{n-a\times b}{a+b})$。

算下复杂度发现：$b\le min(x-a,\frac{n}{a})$，是能过的。

$\mathtt{\text{Code}}$

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;

const int N = 1e5 + 10;

int n, x;

void solve() {
	ll ans = 0;
	cin >> n >> x;
	for (int a = 1; a <= x; ++a) {
		for (int b = 1; a + b <= x && 1ll * a * b <= n; ++b) {
			ans += min(x - a - b, (n - a * b) / (a + b));
		}
	}
	cout << ans << endl;
}

int main() {
	ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0), cout.tie(0);
	
	int T; cin >> T; while (T --) solve();
	return 0;
}