题解 CF1785D - Range = √Sum

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$\mathtt{\text{Describe}}$

构造有 $n$ 个数的序列，满足以下条件：

• $\mathrm{\forall }i\in [1,n]$ 并且 $1\le a_i\le {10}^9$。

• 对于任何的 $1\le i,j\le n(i\ne j)$，$a_i\ne a_j$。

• $(\underset{i=1}{\overset{n}{max}}{a}_i-\underset{i=1}{\overset{n}{min}}{a}_i{)}^2=\sum _{i=1}^n{a}_i$。

$\mathtt{\text{Solution}}$

显然构造题。

我们假设$\sum a_i$ 为 $4n^2$，则 $max{a}_i-min{a}_i=2n$。

显然最简单的序列是 $1,2,\dots ,n-1,2n+1$​，然后我们考虑如何使他接近合法。

我们记 $s_1$ 为 $1+2+\cdots +(n-1)+(2n+1)$。

我们把整个序列 $+1$，然后整个序列的和就会加上 $n$​。

显然可以把整个序列加上

$$d=\lfloor \frac{4n^2-s_1}{n}\rfloor$$

就可以了。

肯定还有剩下没有加进去的 $4n^2-(dn+s_1)$，记作 $s_3$，显然 $0\le s_3\le n-1$。

让第 $n-1$ 个数加上 $s_3$ 即可。

$\mathtt{\text{Code}}$

//Range = √Sum.cpp
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;

#define int long long

const int N = 3e5 + 10;

int a[N];

void solve() {
	memset(a, 0, sizeof a);
	int n; cin >> n;
	
	int sum = 4 * n * n;
	
	for (int i = 1; i <= n - 1; ++i) a[i] = i;
	a[n] = 2 * n + 1;
	
	int tot = 0;
	for (int i = 1; i <= n; ++i) tot += a[i];
	
	int d = (sum - tot) / n;
	
	a[n - 1] += sum - tot - d * n;
	
	for (int i = 1; i <= n; ++i) cout << a[i] + d << ' ';
	
	cout << '\n';
}

signed main() {
	ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0), cout.tie(0);
	
	int T; cin >> T; while (T --) solve();
	return 0;
}