题解 P3406 海底高铁

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题目大意：

有 \(N\) 个城市，相邻两城市之间连接着铁路。有两种购买方案

• 花费 \(A_i\) 元买个车票
• 花费 \(C_i\) 元买个 \(\mathrm{IC}\) 卡，然后就可以只花费 \(B_i\) 元买车票。（每次经过这段铁路都可以用，第二次不用再买）

要按照 \(P_1,P_2,\cdots,P_M\) 的顺序经过 \(M\) 个城市，求最低花费。

Solution

我们首先可以按照 \(P_i\) 的顺序计算每段铁路的经过次数。

但是显然直接暴力去做会 \(\mathrm{\color{#052242}TLE}\)。

于是我们想到差分。

然而我们不知道他是往正方向走还是往反方向走，所以我们只能判断 \(P_i\) 是否大于 \(P_{i+1}\) 即可。（如果大于，那么就是往反方向走，反之亦然）

于是在往正方向走时，给首（\(P_i\)）加 \(1\)，尾（\(P_{i + 1}\)）减 \(1\)​，反之亦然。

for (ll i = 1; i < m; ++i) {
        ll x = min(p[i], p[i + 1]); // 选左端点
    	y = max(p[i], p[i + 1]); //选右端点
        ++ d[x];
        -- d[y];// 差分
}

然后前缀和还原数组，统计答案即可。

ll ans = 0;
for (ll i = 1; i < n; ++i) {
    ans += min(a[i] * d[i], b[i] * d[i] + c[i]); //注意每次经过这段铁路都可以用IC卡，c[i]不乘b[i]
}

Code

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;

const int N = 1e5 + 10;

ll n, m;
ll p[N], a[N], b[N], c[N];
ll d[N];

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0), cout.tie(0);

    cin >> n >> m;

    for (ll i = 1; i <= m; ++i) cin >> p[i];
    
    for (ll i = 1; i <= n; ++i) {
        cin >> a[i] >> b[i] >> c[i];
    }

    for (ll i = 1; i < m; ++i) {
        ll x = min(p[i], p[i + 1]), y = max(p[i], p[i + 1]);
        ++ d[x];
        -- d[y];
    }

    for (ll i = 1; i <= n; ++i) d[i] += d[i - 1];

    ll ans = 0;
    for (ll i = 1; i < n; ++i) {
        ans += min(a[i] * d[i], b[i] * d[i] + c[i]);
    }
    cout << ans;
    return 0;
}