[复习资料]关于式子
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关于式子
这个人开始写一些无意义的东西了。
\[\sum_{i}\min_{j}a_{i,j}=\sum_{p\ge 1}\prod_{i}\sum_{j}[a_{i,j}\ge p]
\]
\[\sum_{i}\max_{j}a_{i,j}=\sum_{p\ge 1}(\prod_{i}\sum_{j}1-\prod_{i}\sum_{j}[a_{i,j}<p])
\]
\[\lfloor\frac{n}{m}\rfloor=\frac{n-(n\bmod m)}{m}=\sum_{i=1}^n[m\mid i]
\]
\[\lceil\frac{n}{m}\rceil=1+\frac{n-((n-1)\bmod m)-1}{m}=1+\sum_{i=1}^{n-1}[m\mid i]
\]
\[\lfloor\frac{\lfloor\frac{n}{m}\rfloor}{k}\rfloor=\lfloor\frac{n}{mk}\rfloor
\]
乘法原理的逆过程：一个乘积的形式可以理解为分开选择的方案数。
\[\prod_{i=1}^na_i=a_1\times a_2\times \cdots\times a_n
\]
（ ABC156F ）
对于长度为 \(n\) 的单调不减的序列 \(a\) ，认为 \(a_0=0\) ，有：
\[\forall 1\le i\le n,a_i-a_{i-1}< m\Leftrightarrow \lfloor\frac{a_n}{m}\rfloor=\sum_{i=2}^{n}[(a_i\bmod m)<(a_{i-1}\bmod m)]
\]
吸收：
\[{n\choose m}m={n-1\choose m-1}n
\]
\[{n\choose m}m^{\underline{k}}={n-k\choose m-k}n^{\underline{k}}
\]
\(m\) 次方拆斯特林数：
\[n^m=\sum_{k=0}^m{n\choose k}{m\brace k}k!
\]
二项式反演：
\[f_i=\sum_{j=0}^i{i\choose j}g_j\Leftrightarrow g_i=\sum_{j=0}^i(-1)^{i-j}{i\choose j}f_j
\]
斯特林反演：
\[f_i=\sum_{j=0}^i{i\brace j}g_j\Leftrightarrow g_i=\sum_{j=0}^i(-1)^{i-j}{i\brack j}f_j
\]
\[f_i=\sum_{j=0}^i{i\brack j}g_j\Leftrightarrow g_i=\sum_{j=0}^i(-1)^{i-j}{i\brace j}f_j
\]
单位根反演：
\[[k\mid n]=\frac{1}{k}\sum_{i=0}^{k-1}\omega_k^{in}
\]
