题解 ARC155D Avoid Coprime Game

题解 ARC155D Avoid Coprime Game

题意

给定一个可重集 $S$ ，保证 $\gcd_{x\in S}(x)=1$ ，维护一个初始为 $0$ 的整数 $G$ ，双方轮流操作，每次每人选择 $S$ 中一个数 $x$ 满足 $\gcd(x,G)\ne 1$ ，然后 $G\gets \gcd(x,G)$ 同时将 $x$ 从 $S$ 中删去，谁无法操作谁败。

对于所有 $x\in S$ ，询问若先手一开始选择 $x$ 则谁会获胜。

值域 $2\times 10^5$ ，集合大小 $2\times 10^5$ 。

题解

分析

考虑一个局面 $(G',S')$ ，如果这个局面可以到达，那么显然 $S$ 中所有不被 $G'$ 整除的数 $x$ 都必须在 $S'$ 中，考虑哪些被 $G'$ 整除的数 $y$ ，如果之后的某次操作选择了 $y$ ，那么 $G'$ 显然不会变，所以实际上这些数对局面的影响本质是等效的，如果有 $k$ 个这样的数，将这 $k$ 个数从 $S'$ 中删去得到 $S''$ ，用局面 $(G',S'',k)$ 表示，那么后面的每次决策要么就是同时改变 $G',S''$ ，要么就是 $k\gets k-1$ ，所以本质上就是这两个游戏的组合，而 $k$ 每次减一这个游戏的 SG 函数值显然就是 $k$ 的奇偶性，所以可以得到 $SG(G',S')=SG(G',S'')\oplus(k\&1)$ ，而值得注意的是， $S''$ 仅由 $G'$ 唯一确定（ $S''$ 就是 $S$ 中所有不能被 $G'$ 整除的数），不妨记 $S''=F(G')$ 。

于是你可以把所有可到达局面简化成 $(G',F(G'))$ ，而 $G'$ 就是值域范围，所以局面就被简化为可接受的数量了，接下来就是求所有的 $SG(G',F(G'))$ 了，局面连边数是 $A\log A$ 级别的，暴力连边即可，这个就是看 $F(G')$ 与 $G'$ 的 $\gcd$ 可能为哪些了，用莫反很好处理。（感觉没有啥更简单的方法了。。。）

总复杂度 $O(A\log^2 A)$ 。

参考代码

#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
const int maxn=200005;
int A[maxn],CNT[maxn],sg[maxn];
int vis[maxn],mu[maxn],pri[maxn],cnt;
int sb[maxn];
std::vector<int>fk[maxn],kf[maxn];
int main(){
	int N;scanf("%d",&N);
	for(int i=1;i<=N;++i)
		scanf("%d",&A[i]),++CNT[A[i]];
	vis[1]=true;mu[1]=1;
	for(int i=2;i<maxn;++i){
		if(!vis[i])mu[pri[++cnt]=i]=-1;
		for(int j=1;j<=cnt;++j){
			int k=i*pri[j];
			if(k>=maxn)break;
			vis[k]=true;
			if(i%pri[j]==0)break;
			mu[k]=mu[i]*mu[pri[j]];
		}
	}
	for(int i=1;i<=cnt;++i){
		for(int j=(maxn-1)/pri[i];j>=1;--j){
			CNT[j]+=CNT[j*pri[i]];
		}
	}
	for(int i=1;i<maxn;++i)
		for(int j=i;j<maxn;j+=i)
			fk[j].push_back(i);
	for(int i=1;i<maxn;++i){
		for(auto j:fk[i])if(j>1&&j<i){
			int az=0;
			for(auto k:fk[i/j]){
				az+=mu[k]*CNT[j*k];
			}
			if(az)kf[i].push_back(j);
		}
	}
	for(int i=2;i<maxn;++i){
		for(auto j:kf[i]){
			int o=sg[j];
			o^=(CNT[j]-CNT[i]-1)&1;
			sb[o]=true;
		}
		while(sb[sg[i]])++sg[i];
		for(auto j:fk[i]){
			int o=sg[j];
			o^=(CNT[j]-CNT[i]-1)&1;
			sb[o]=false;
		}
	}
	for(int i=1;i<=N;++i){
		int o=sg[A[i]];
		o^=((CNT[A[i]]-1)&1);
		puts(o?"Aoki":"Takahashi");
	}
	return 0;
}