某古普及组月赛LGR-113游记

某古普及组月赛LGR-113游记

在给初一的讲课，然后他们说下午有pj组月赛，然后我摆烂不知道干啥就想去打一下，发现确实要点脑子。。。

A

显然 \(\lfloor\frac{l}{x}\rfloor,\lfloor\frac{l+1}{x}\rfloor,\dots,\lfloor\frac{r}{x}\rfloor\) 去重后值域连续，众所周知 \(\gcd(p,p+1)=1\) ，于是看看两个端点相不相等就行了。

B

肯定一开始尽可能买最贵的啊。

多一次交换我又占不到便宜，肯定最多只换一次啊。

要让到手的物品最多，当然从最便宜的买起啊。

C

果然是退役狗，赛时想的做法假了，不过居然有 \(80\) ：

区间长度加一， \(\operatorname{mex}()\) 最多加一，答案不会更劣，所以最优解就是选整个区间。

要让 \(\operatorname{mex}\) 尽可能小，不妨假设 \(\operatorname{mex}\) 最小为 \(k\) ，那么所有数必然不能选 \(k\) ，如果存在 \(i\) 满足 \(a_i=b_i=k\) ，那么 \(k\) 就不能是最小的 \(\operatorname{mex}\) ，否则必然可以使得 \(\operatorname{mex}\) 小于 \(k\) 。（存在一个为 \(k\) 的就选另一个）

所以就对所有 \(a_i=b_i\) 的 \(a_i\) 求个 \(\operatorname{mex}\) 即是最小的。

错误点在于区间长度加一， \(\operatorname{mex}()\) 显然不一定最多只加一啊。。。

仍然只有那些 \(a_i=b_i\) 的位置有意义，考虑枚举 \(\operatorname{mex}\) 是 \(k\) ，我们只需要考虑不包含 \(k\) 的区间最长有多少就行了，可能会多考虑进一些比最优解更劣的解，但是最优解肯定在考虑范围内。

从左到右扫一遍即可。

D

可能成为答案的区间的最小值和最大值一定在左右端点上，否则可以缩小区间使得答案更优。

注意到任取 \(i,j\in [l,r]\) ，都有 \(a_i-a_j-r+l-1\le \max\{a_l,a_{l+1},\dots,a_r\}-\min\{a_l,a_{l+1},\dots,a_r\}-r+l-1\) ，所以 \(a_l-a_r-r+l-1\le \max\{a_l,a_{l+1},\dots,a_r\}-\min\{a_l,a_{l+1},\dots,a_r\}-r+l-1\) ，同时 \(a_r-a_l-r+l-1\le \max\{a_l,a_{l+1},\dots,a_r\}-\min\{a_l,a_{l+1},\dots,a_r\}-r+l-1\) 。

所以题目就变成了求 \([l,r]\) ，最大化 \(\max\{a_l+l-a_r-r-1,-a_l+l+a_r-r-1\}\) ，前缀最大值即可。