题解 矩阵游戏
题解 矩阵游戏
题意简述
给定 \((n-1)\times (m-1)\) 的矩阵 \(b\) ，构造 \(n\times m\) 的矩阵 \(a\) 满足：
并且满足 \(a_{i,j}\in [0,10^6]\) ，需要判无解，多组数据。
\(1\le T\le 10,2\le n,m\le 300,0\le b_{i,j}\le 4\times 10^6\) 。
部分分表格：
| 测试点编号 | $n,m\le $ | 特殊限制 |
|---|---|---|
| \(1\sim 4\) | \(3\) | 无 |
| \(5\sim 7\) | \(10\) | \(m=2\) |
| \(8\sim 10\) | \(100\) | \(m=2\) |
| \(11\sim 15\) | \(300\) | \(0\le b_{i,j}\le 1\) |
| \(16\sim 20\) | \(300\) | 无 |
题目分析
测试点 \(1\sim 4\)
测试点 \(5\sim 7\)
\(m=2\) ，不妨设 \(c_j=a_{j,1}+a_{j,2}\) ，那么 \(b_{j,1}=c_j+c_{j+1}\) 并且有 \(c_j\in [0,2\times 10^6]\) ，暴力枚举 \(c_n\) 就可以一遍 \(\mathcal O(n)\) 推出 \(c_{1\sim n-1}\) ，然后直接检查即可，时间复杂度 \(\mathcal O(2\times 10^6\times Tn)\) 。
测试点 \(8\sim 10\)
一样的，设 \(c_j=a_{j,1}+a_{j,2}\) ，可以得出 \(c_j=\sum\limits_{k=j}^{n-1}(-1)^{k-j}b_{k,1}+(-1)^{n-j}c_n\) ，对于每个 \(1\le j<n\) ，由 \(c_j\in [0,2\times 10^6]\) 可以推出其对于 \(c_n\) 的限制，然后就可以做了，时间复杂度 \(\mathcal O(Tn)\) 。
测试点 \(11\sim 15\)
只会一个和满分做法差不多的做法。
此时 \(a_{i,j}\in [0,1]\) ，想到 2-SAT 。
令 \(c_{i,j}=\sum\limits_{s=i}^{n-1}\sum\limits_{t=j}^{m-1}(-1)^{n-s+m-t}b_{s,t}\) ，那么就会有 \(a_{i,j}=(-1)^{n-i+m-j}c_{i,j}+(-1)^{n-i}a_{i,m}+(-1)^{m-j}a_{n,j}-a_{n,m}\) ，又由于 \(0\le a_{i,j}\le 10^6\) ，那么 \(a_{i,j}\) 就相当于给了一个限制条件：
暴力枚举 \(a_{n,m}\) ，那么限制的就只有两个变量，看每个变量取 \(0\) 或 \(1\) 的时候对另一个变量的限制，然后跑 2-SAT 即可。
时间复杂度 \(\mathcal O(Tnm)\) 。
测试点 \(16\sim 20\)
显然如果第 \(n\) 行和第 \(m\) 列的 \(a\) 的取值都确定了，那么所有的 \(a\) 的取值都可以通过 \(b\) 唯一确定。根据经验或者大胆猜想， \(a_{i,j}\) 的取值肯定可以表示为某一个固定的数 \(c_{i,j}\) 和 \(a_{i,m},a_{n,j},a_{n,m}\) 的线性表示。
令 \(c_{i,j}=\sum\limits_{s=i}^{n-1}\sum\limits_{t=j}^{m-1}(-1)^{n-s+m-t}b_{s,t}\) ，那么就会有 \(a_{i,j}=(-1)^{n-i+m-j}c_{i,j}+(-1)^{n-i}a_{i,m}+(-1)^{m-j}a_{n,j}-a_{n,m}\) ，又由于 \(0\le a_{i,j}\le 10^6\) ，那么 \(a_{i,j}\) 就相当于给了一个限制条件：
不等关系不难想到差分约束，但是注意到这个限制条件中有三个变量 \(a_{i,m},a_{n,j},a_{n,m}\) ，而差分约束模型只能限制两个变量间的关系，不过没有关系，我们可以“换元”，令 \(S_i=(-1)^{n-i}a_{i,m},T_j=a_{n,m}-(-1)^{m-j}a_{n,j}\) ，那么这个限制条件也可以写成：
于是就转化成经典差分约束模型了，完全图直接使用 bellmanford 就行了，时间复杂度 \(\mathcal O(Tnm(n+m))\) ，有一点点卡常。
