[复习资料]一类简单的树上找最小连通块问题

一类简单的树上找最小连通块问题

一类简单的树上找最小连通块问题

问题描述

给定一棵 $n$ 个点的树，边有边权，再给定若干个关键点，求最小的包含所有关键点的连通块的边权和。

解决方法

直接讲结论吧，首先 $\rm dfs$ 得出树上所有点的 $\rm dfs$ 序，不妨设将所有关键点按 $\rm dfs$ 序排序后得到的序列为 $a_1,a_2,\dots,a_m$ ，那么答案就是 $(\operatorname{dist}(a_1,a_2)+\operatorname{dist}(a_2,a_3)+\cdots+\operatorname{dist}(a_{m-1},a_m)+\operatorname{dist}(a_{m},a_1))/2$ 。

为什么是这样的？考虑一条边的边权何时会被算入答案，当且仅当这条边的两边都存在关键点，如下图：

在计算路径的时候，我们从下往上计算了这条边的边权一次，从上往下又计算了一次，所以除以二就是答案。

如果这条边不应该被算入答案，那么显然就不会被算入答案。

其他扩展问题

一、给定一棵 $n$ 个点的树，点有点权，再给定若干个关键点，求最小的包含所有关键点的连通块的点权和。

解决方法：把点权上放到边权，然后唯一没有计算到的点权就是最上面的那个点的点权，直接加上去就行了。

二、给定一棵 $n$ 个点的树，边有边权，再给定若干个关键点，然后给最小的包含所有关键点的连通块的所有边的边权加一。

解决方法：之前讲的是求和，这里变成了修改，其实都是一样的，通过上面按 $\rm dfs$ 排序的处理之后，都转化成了路径求和和路径修改，如果是静态的可以树上差分做，如果是动态的差分后树状数组，树链剖分和 $\rm LCT$ 都可以维护。

三、给定一棵 $n$ 个点的树，边有边权，再给定一个关键点集合，需要实现加入删除点和求最小的包含所有关键点的连通块的边权和。

解决方法：使用一个 $\rm set$ 维护这个关键点集合，然后每次插入一个点 $w$ 就找到 $\rm dfs$ 序小于该点的第一个点 $u$ （如果没有就是 $\rm dfs$ 序最大的点）和 $\rm dfs$ 序大于该点的第一个点 $v$ （如果没有就是 $\rm dfs$ 序最小的点），然后相当于是去掉路径 $u,v$ 的贡献，加上 $u,w$ 和 $w,v$ 的贡献。

和字符串算法的结合

其实我写这篇文章就是为了讲这个的。

考虑这样一个问题：给定若干模式串和若干匹配串，求每个模式串在所有匹配串中的出现次数。

显然可以使用 $\rm AC$ 自动机来做，将模式串建立 $\rm AC$ 自动机，然后把所有匹配串丢到自动机里面去跑，每到达一个节点就在 $\rm fail$ 树上面进行根节点到当前点的链上加一操作，最后每个模式串对应节点的点权就是这个模式串的答案。

对于链上加操作，如果是静态的可以树上差分，如果是动态的可以用树链剖分或差分后树状数组线段树做。

换一个问题：给定若干模式串和若干匹配串，求每个模式串在多少个匹配串中出现过。

如果仅有一个匹配串，可以求出 $\rm AC$ 自动机上面对应的所有字符串的出现次数，如果次数大于 $0$ 那么就表示这个字符串在模式串中出现过。

如果有多个匹配串，显然不可以对每个模式串都进行一遍判断出现次数是否大于 $0$ 的操作，因为做一次这样操作的复杂度是 $\mathcal O(\text{AC自动机节点个数})$ 的，显然不太优美。

还有一种方法，就是每次走到新的一个节点，并不是直接链上加，而是一直往上找到没有被遍历过的点，然后再进行加和，实现过程如果使用二分加树剖的话，恐怕是 $\mathcal O(\log_2^3n)$ 的，不推荐，如果是暴力跳 $\rm fail$ 指针，复杂度可能就是假的了。

我们发现，最终出现在匹配串中的字符串，其实就是 $\rm fail$ 树上所有遍历过的点到根的路径的并，其实就是我们一开始讨论的问题，如果把这些遍历过的点和根节点看做是关键点，那么我们要实现的其实就是最小包含所有关键点连通块修改，于是就可以转化为路径修改。

这样做的复杂度是正确的，而且使用差分后时间复杂度就只带了一个 $\log$ 。

再考虑另外一个问题：给定 $n$ 个字符串和一个数集 $S$ ，如果一个字符串仅在 $n$ 个字符串中的 $x$ 个字符串中出现过，并且 $x\in S$ ，那么我们称这个字符串是“Imakf喜爱的”，请对于每个字符串它有多少个本质不同的子串是“Imakf喜爱的”。

由于是子串，所以我们先建立广义 $\rm SAM$ ，接下来的问题就是求出 $\rm SAM$ 上面每个节点对应字符串在哪些字符串里面出现过，和 $\rm AC$ 自动机一样的，不过这次是在 $\rm parent$ 树而不是 $\rm fail$ 树上面实现连通块修改操作，然后处理完后再判断一下这个字符串是不是“Imakf喜爱的”，接下来的问题就是对于每个字符串找到其所有的“本质不同的子串”对应的节点，也就是连通块求和操作，码量可能有点大。