ARC107 游记
ARC107 游记
这场相比上次还算好吧，涨了一点分。
F 比赛时还是没有想出来，网络流建模果然还是不太熟悉。
以后只写 D,E,F 的题解算了，前三题就不写了。
D Number of Multisets
题意简述
询问有多少个可重集 \(S\) 满足 \(|S|=n\) 并且 \(S\) 中所有元素的和为 \(k\) 并且 \(S\) 中的元素都可以表示为 \(\frac{1}{2^x}(x\ge 0)\) （ \(2\) 的非负整数次幂的倒数），答案对 \(998244353\) 取模。
\(1\le k\le n\le 3000\) 。
题目分析
考虑 dp ，设 \(dp(i,j,t)\) 表示满足 \(|S|=i\) 并且 \(S\) 中所有元素的和为 \(j\times \frac{1}{2^t}\) 并且 \(S\) 中的元素都可以表示为 \(\frac{1}{2^x}(x\ge t)\) 的可重集 \(S\) 的数量，不难发现， \(dp(i,j,t)\) 的值其实和 \(t\) 无关，所以我们可以把 \(t\) 这一维去掉，只设 \(dp(i,j)\) 。
转移可以枚举有多少个元素是 \(\frac{1}{2^t}\) ：
另一种转移方法，看是否存在一个元素 \(\frac{1}{2^t}\) ：
使用第二种转移方法，时间复杂度 \(\mathcal O(nk)\) ，当然可以通过推式子的方式由第一种转移方法推出第二种转移方法。
参考代码
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ch() getchar()
#define pc(x) putchar(x)
template<typename T>inline void read(T&x){
int f;char c;
for(f=1,c=ch();c<'0'||c>'9';c=ch())if(c=='-')f=-f;
for(x=0;c<='9'&&c>='0';c=ch())x=x*10+(c&15);x*=f;
}
template<typename T>inline void write(T x){
static char q[64];int cnt=0;
if(!x)pc('0');if(x<0)pc('-'),x=-x;
while(x)q[cnt++]=x%10+'0',x/=10;
while(cnt--)pc(q[cnt]);
}
const int maxn=3005,mod=998244353;
int mo(const int x){
return x>=mod?x-mod:x;
}
int dp[maxn][maxn];
int main(){
int n,k;read(n),read(k);
dp[0][0]=1;
for(int i=1;i<=n;++i){
for(int j=i;j>=1;--j){
dp[i][j]=mo(dp[i-1][j-1]+(j*2<=i?dp[i][j*2]:0));
}
}
write(dp[n][k]),pc('\n');
return 0;
}
E Mex Mat
比赛时被这题卡了好久，好在最后想出来了。
题意简述
\(n\times n\) 的矩阵 \(a\) ，其中的每个数的取值为 \(\{0,1,2\}\) ，矩阵满足 \(a_{x,y}=\mbox{mex}(a_{x-1,y},a_{x,y-1})(x\ge 2,y\ge 2)\) ，现在给出 \(a_{1,i}\) 和 \(a_{i,1}\) ，询问整个矩阵中 \(0,1,2\) 的出现次数。
\(1\le n\le 5\times 10^5\) 。
题目分析
如果 \(a_{x,y}=0\) ，那么 \(a_{x+1,y}\) 和 \(a_{x,y+1}\) 就非 \(0\) ，那么 \(a_{x+1,y+1}=0\) ，所以一个 \(0\) 会沿斜线传递下去。
如果两个 \(0\) 相邻 1 ，那么就会变成这样：
0 0
010
010
010
010
...
如果两个 \(0\) 相邻 2 ，那么就会变成这样：
0 20
0120
0120
0120
0120
0120
....
或者这样：
0 10
0210
0210
0210
0210
0210
....
两个 \(0\) 在执行了若干步后要么相邻 \(1\) 要么相邻 \(2\) ，所以在执行若干步后必然满足 \(a_{x+1,y+1}=a_{x,y}\) ，所以我们就可以先往下往右递推出前若干步，然后就可以直接计算了。
我的程序选择了递推前 \(10\) 行和前 \(10\) 列，官方题解好像是递推了前 \(4\) 行，好像是说枚举了前 \(4\) 行的所有情况就能发现必然有 \(a_{5,5}=a_{4,4}\) 。
参考代码
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ch() getchar()
#define pc(x) putchar(x)
template<typename T>inline void read(T&x){
int f;char c;
for(f=1,c=ch();c<'0'||c>'9';c=ch())if(c=='-')f=-f;
for(x=0;c<='9'&&c>='0';c=ch())x=x*10+(c&15);x*=f;
}
template<typename T>inline void write(T x){
static char q[64];int cnt=0;
if(!x)pc('0');if(x<0)pc('-'),x=-x;
while(x)q[cnt++]=x%10+'0',x/=10;
while(cnt--)pc(q[cnt]);
}
const int maxn=500005;
long long cnt[3];
int Ma[3][3]={{1,2,1},{2,0,0},{1,0,0}};
int A[maxn],B[maxn];
int main(){
int n;read(n);
for(int i=1;i<=n;++i)read(A[i]),++cnt[A[i]];
for(int i=2;i<=n;++i)read(B[i]),++cnt[B[i]];
if(n<=10){
for(int i=2;i<=n;++i){
A[i-1]=B[i];
for(int j=i;j<=n;++j)
++cnt[A[j]=Ma[A[j]][A[j-1]]];
B[i]=A[i];
for(int j=i+1;j<=n;++j)
++cnt[B[j]=Ma[B[j]][B[j-1]]];
}
}
else{
for(int i=2;i<=10;++i){
A[i-1]=B[i];
for(int j=i;j<=n;++j)
++cnt[A[j]=Ma[A[j]][A[j-1]]];
B[i]=A[i];
for(int j=i+1;j<=n;++j)
++cnt[B[j]=Ma[B[j]][B[j-1]]];
}
for(int i=10;i<=n;++i)
cnt[A[i]]+=n-i;
for(int i=11;i<=n;++i)
cnt[B[i]]+=n-i;
}
write(cnt[0]),pc(' '),write(cnt[1]),pc(' '),write(cnt[2]),pc('\n');
return 0;
}
F Sum of Abs
题意简述
\(n\) 个点 \(m\) 条边的无向图，你可以花费 \(A_i\) 的代价删除 \(i\) 点，最终你的收益是所有连通块 \(B_i\) 的和的绝对值之和，请最大化收益减代价和。
\(1\le n,m\le 300,1\le A_i\le 10^6,-10^6\le B_i\le 10^6\) 。
题目分析
数据范围极力暗示网络流，问题就是如何建模。
假如 \(S\) 中的点构成了一个连通块，那么最后对收益的贡献就是 \(\max(\sum_{u\in S}B_u,-\sum_{u\in S}B_u)=\max(\sum_{u\in S}B_u,\sum_{u\in S}(-B_u))\) ，也就是说，在同一个连通块中的点的 \(B_i\) 对答案造成贡献时乘以的系数是相同的，即乘以 \(1\) 或者 \(-1\) 。
每个点有三种选择：删除（给答案贡献 \(-A_i\) ），给答案贡献 \(B_i\) 、给答案贡献 \(-B_i\) 。三选一模式，考虑使用最小割模型，将点 \(u\) 拆成两个点 \(u_0,u_1\) ，然后连边方法是 \(S\to u_0\to u_1\to T\) ，割掉 \(S\to u_0\) 表示给答案贡献 \(B_i\) ，割掉 \(u_0\to u_1\) 表示删除点 \(u\) （给答案贡献 \(-A_i\) ），割掉 \(u_1\to T\) 表示给答案贡献 \(-B_i\) ，这样的话在同一个连通块里的点必须选择在同一侧，即要么都和 \(S\) 相连要么都和 \(T\) 相连。
连边是这样的： \(S\to u_0\) 流量为 \(-B_i\) ， \(u_0\to u_1\) 流量为 \(A_i\) ， \(u_1\to T\) 流量为 \(B_i\) 。由于流量不能为负数，所以三条边流量和答案需要集体加上 \(\mbox{abs}(B_i)\) 。
如果在原图中 \(u,v\) 有连边，说明 \(u,v\) 必须要在同一边，也就是不能同时满足割掉 \(S\to u_0\) 并且割掉 \(v_1\to T\) （此时相当于保留了 \(u_0\to u_1\to T\) 和 \(S\to v_0\to v_1\) ），或者不能同时满足割掉 \(u_1\to T\) 并且割掉 \(S\to v_0\) （此时相当于保留了 \(S\to u_0\to u_1\) 和 \(v_0\to v_1\to T\) ），所以 \(v_1\to u_0\) 流量 \(\infty\) ， \(u_1\to v_0\) 流量 \(\infty\) 。
参考代码
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
#define ch() getchar()
#define pc(x) putchar(x)
template<typename T>inline void read(T&x){
int f;char c;
for(f=1,c=ch();c<'0'||c>'9';c=ch())if(c=='-')f=-f;
for(x=0;c<='9'&&c>='0';c=ch())x=x*10+(c&15);x*=f;
}
template<typename T>inline void write(T x){
static char q[64];int cnt=0;
if(!x)pc('0');if(x<0)pc('-'),x=-x;
while(x)q[cnt++]=x%10+'0',x/=10;
while(cnt--)pc(q[cnt]);
}
const int maxn=305,maxm=305;
struct Edge{
int v,w,nt;
Edge(int v=0,int w=0,int nt=0):
v(v),w(w),nt(nt){}
}e[maxm*4+maxn*4];
int hd[maxn*2],num=1;
void qwq(int u,int v,int w){
e[++num]=Edge(v,w,hd[u]),hd[u]=num;
}
void qvq(int u,int v,int w){
qwq(u,v,w);qwq(v,u,0);
}
int S=0,T=1,dis[maxn*2],q[maxn*2];
int bfs(void){
memset(dis,0,sizeof dis);
int fro=0,bac=0;dis[q[bac++]=S]=1;
while(fro<bac){
int u=q[fro++];
for(int i=hd[u];i;i=e[i].nt){
int v=e[i].v,w=e[i].w;
if(w&&!dis[v]){
dis[q[bac++]=v]=dis[u]+1;
}
}
}
return dis[T];
}
int cur[maxn*2];
int dfs(int u,int ep){
if(u==T)return ep;int re=0;
for(int&i=cur[u];i;i=e[i].nt){
int v=e[i].v,w=e[i].w;
if(w&&dis[v]==dis[u]+1){
int tmp=dfs(v,min(ep,w));
re+=tmp;ep-=tmp;
e[i].w-=tmp;e[i^1].w+=tmp;
if(!ep)break;
}
}
return re;
}
int dinic(void){
int re=0;
while(bfs()){
memcpy(cur,hd,sizeof hd);
re+=dfs(S,inf);
}
return re;
}
int A[maxn],B[maxn];
int main(){
int n,m;read(n),read(m);
for(int i=1;i<=n;++i)read(A[i]);
for(int i=1;i<=n;++i)read(B[i]);
int ans=0;
for(int i=1;i<=n;++i){
int a=A[i],b=B[i];
if(b<0)ans-=b,qvq(S,i*2 ,-2*b),qvq(i*2,i*2+1,a-b);
else ans+=b,qvq(i*2+1,T, 2*b),qvq(i*2,i*2+1,a+b);
}
for(int i=1;i<=m;++i){
int u,v;
read(u),read(v);
qvq(u*2+1,v*2,inf);
qvq(v*2+1,u*2,inf);
}
write(ans-dinic()),pc('\n');
return 0;
}
总结
前几天还搞了图论来着，结果 F 网络流建模还是没有独立想出来，自己的思维建模能力还是不够啊。
