[被踩计划] 题解 [省选联考 2020 A 卷] 作业题
为什么叫被踩记录呢？因为感觉自己之前真的是太菜了，打算把之前联赛等考过的题目做一做，看看自已以前有多菜，所以取名叫被踩记录。
题目分析
\[(\sum_{i=1}^{n-1}w_{e_i})\times \gcd(w_{e_1},w_{e_2},\dots,w_{e_{n-1}})=
\]
\[(\sum_{i=1}^{n-1}w_{e_i})\times \sum_{d\mid w_{e_1},d\mid w_{e_2},\dots,d\mid w_{e_{n-1}}}\varphi(d)=
\]
\[\sum_{d}\varphi(d)\sum_{i=1}^{n-1}w_{e_i}[d\mid w_{e_1}][d\mid w_{e_2}]\dots[d\mid w_{e_{n-1}}]
\]
考虑枚举 \(d\) ，然后求里面的东西，也就是 \(\sum_{T}\sum_{e_i\in T} w_{e_i}\) ，这个可以用矩阵树做，让第 \(i\) 条边边权为 \(1+w_ix\) ，那么最终一次项系数就是答案，为什么呢？发现我们实际上求的就是 \(\sum w_{e_i}\times \sum_{T,e_i\in T}\) ，这个显然是没有问题。
由于我们只要求一次项系数，所以可以在 \(\bmod x^2\) 意义下求解，乘法加法等很容易求，关键就是求逆元，设 \(a+bx\) 的逆元是 \(Ax+B\) ，那么有 \((Ax+B)(ax+b)\equiv (Ab+Ba)x+Bb\equiv 1 \pmod {x^2}\) ，于是 \(B\equiv \frac{1}{b},A=-\frac{Ba}{b}\) 。
注意到我们只需要枚举边数至少是 \(n-1\) 的 \(d\) 就行了，这样的话复杂度大概是 \(\mathcal O(n^4\times 144)\) 的，具体我也不会证，可以看看这里。
参考代码
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define ch() getchar()
#define pc(x) putchar(x)
using namespace std;
template<typename T>void read(T&x){
static char c;static int f;
for(c=ch(),f=1;c<'0'||c>'9';c=ch())if(c=='-')f=-f;
for(x=0;c>='0'&&c<='9';c=ch())x=x*10+(c&15);x*=f;
}
template<typename T>void write(T x){
static char q[65];int cnt=0;
if(x<0)pc('-'),x=-x;
q[++cnt]=x%10,x/=10;
while(x)
q[++cnt]=x%10,x/=10;
while(cnt)pc(q[cnt--]+'0');
}
const int mod=998244353,maxn=35,maxw=160000,maxm=505;
int mo(const int x){
return x>=mod?x-mod:x;
}
int power(int a,int x){
int re=1;
while(x){
if(x&1)re=1ll*re*a%mod;
a=1ll*a*a%mod,x>>=1;
}
return re;
}
struct Int{
int a,b;
Int(int a=0,int b=0):
a(a),b(b){}
Int operator + (const Int o)const{
return Int(mo(a+o.a),mo(b+o.b));
}
Int operator - (const Int o)const{
return Int(mo(mod-o.a+a),mo(mod-o.b+b));
}
Int operator * (const Int o)const{
return Int(1ll*a*o.a%mod,mo(1ll*a*o.b%mod+1ll*b*o.a%mod));
}
Int operator / (const Int o)const{
if(o.a==0)return Int(1ll*b*power(o.b,mod-2)%mod,0);
int tmp=power(o.a,mod-2);
return Int(1ll*a*tmp%mod,1ll*tmp*tmp%mod*mo(mod-1ll*a*o.b%mod+1ll*b*o.a%mod)%mod);
}
Int operator += (const Int o){
return *this=*this+o;
}
Int operator -= (const Int o){
return *this=*this-o;
}
bool operator > (const Int o)const{
return a^o.a?a>o.a:b>o.b;
}
};
Int A[maxn][maxn];
int solve(int n){
int re=0;
for(int i=1;i<n;++i){
int mx=i;
for(int j=i+1;j<n;++j)
if(A[j][i]>A[mx][i])
mx=j;
if(A[mx][i].a==0&&A[mx][i].b==0)
return 0;
if(mx!=i){
re^=1;
swap(A[mx],A[i]);
}
for(int j=1;j<n;++j){
if(i==j)continue;
Int tmp=A[j][i]/A[i][i];
for(int k=i;k<n;++k)
A[j][k]-=A[i][k]*tmp;
}
}
re=re?mod-1:1;
Int o=Int(1,0);
for(int i=1;i<n;++i)o=o*A[i][i];
return re=1ll*re*o.b%mod;
}
int cnt[maxw],S[maxm],T[maxm],W[maxm];
int main(){
int n,m;read(n),read(m);
for(int i=1;i<=m;++i){
int u,v,w;
read(u),read(v),read(w);
int tmp=sqrt(w);
for(int j=1;j<=tmp;++j){
if(w%j==0){
++cnt[j];
if(j*j!=w)
++cnt[w/j];
}
}
S[i]=u,T[i]=v,W[i]=w;
}
int ans=0;
for(int i=1;i<=152501;++i){
if(cnt[i]<n-1)continue;
int tmp=sqrt(i),cp=i,phi=i;
for(int i=2;i<=tmp&&cp>1;++i){
if(cp%i==0){
phi=phi/i*(i-1);
while(cp%i==0)cp/=i;
}
}
if(cp>1)phi=phi/cp*(cp-1);
memset(A,0,sizeof A);
for(int j=1;j<=m;++j){
if(W[j]%i!=0)continue;
Int x=Int(1,W[j]);
A[S[j]][S[j]]+=x;
A[T[j]][T[j]]+=x;
A[S[j]][T[j]]-=x;
A[T[j]][S[j]]-=x;
}
ans=mo(ans+1ll*phi*solve(n)%mod);
}
write(ans),pc('\n');
return 0;
}
