经典 trick 选记

图论

1. 有关于树/DAG 的构造等，可以考虑从叶子/入度为零的节点开始删点。
2. 有关于 Floyd 的题目，观察是否满足矩阵乘法结合律，从而使用矩阵快速幂加速。
3. $\mathrm{lca}(\{u_n\})=\mathrm{lca}(i{d}_{mindfn},i{d}_{maxdfn})$，其中 $i{d}_{df{n}_u}=u$。类似 trick 的题目：CF1062E。
4. 考虑 dijkstra 每个点只会经过一次，通过其距离单调递增的性质，来给一张图定向成一张 DAG。
5. 当题目给定一个网格时，且有对于一整行、一整列的操作时，考虑把第 $i$ 行向第 $j$ 列连一条边权 $a_{i,j}$ 的边（特殊地，$a_{i,j}=i+j$），构造出一二分图。类似 trick 的题目：ARC083F。
6. 看到有关于“次数”限制时，考虑拆点，跑网络流。
7. 考虑让一些特殊节点成为树的根，比如重心。
8. 对于一棵树上有不同类型的点（比如黑/白点），考虑虚树。
9. 对于一些具有可减性的信息，考虑建图作为边权。
10. 除节点编号外还出现了“时间”一类的信息考虑分层图。
11. 树形 dp 遇到要保存某个子孙信息时，不妨逆向考虑保存祖先信息，即 $f_{u,son}$ 转换成 $f_{u,fa}$。
12. 考虑把一棵树拆成一条链上面挂了好几棵子树，或者一张图拆成一条链上面挂了好几个环。
13. 遇到奇偶、男女、$01$、黑白之类的信息，考虑二分图/并查集/网络流。
14. 无向图的 dfs 树不存在横叉边。
15. 求完全图最小生成树，且边权有一定规律时，考虑 Boruvka 算法。类似 trick 的题目：CF888G。
16. $\text{path}(s,t)=\text{path}(s,u)+\text{edge}(u,v)+\text{path}(v,t)=\text{path}(s,u)+\text{edge}(u,v)+{\text{path}}^{-1}(t,v)$。类似 trick 的题目：P5304。
17. 当一个图既有点权又有边权时，考虑把点权拆到边上，或者把边权拆到点上。
18. 判断树上两点是否为祖先关系时，考虑从 dfn 序入手。类似 trick 的题目：P5901。
19. 遇到有关于“匹配”的问题，除了网络流外，还可以建基环树森林，对应每条边与每个点一一对应。类似 trick 的题目：ARC083F。
20. 差分约束只有非负/非正权边时，考虑 tarjan 缩点，判断每个强连通放了内是否有正/负权边，然后 toposort。类似 trick 的题目：P3275。
21. 遇到有一些边至少/恰好走一次考虑欧拉路。类似 trick 的题目：P6628。
22. 对于树上任意 $3$ 个点 $(u,v,w)$ 满足 $di{s}_{u,w}+di{s}_{w,v}\ge di{s}_{u,v}$。
23. 对于复杂度和节点度数相关，考虑根号分治/三元环计数的 trick。类似 trick 的题目：P3547。
24. 如果对于某个节点 $u$ 需要计算他与每一个节点 $v$ 相关值的（最值/和）信息，考虑先将一条链 $(u,v)$ 劈成 $(u,\text{lca}(u,v))$ 和 $(\text{lca}(u,v),v)$，对后者先自下而上汇总，再对于前者自上而下传。类似 trick 的题目：AtCoder Code Festival 2017 Final J。
25. 如果 $\text{lca}(u,v)=x$，则 $u,v$ 必然有一个节点在 $x$ 的轻子树中。
26. $n$ 个点的竞赛图三元环数量为：$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{3})-\sum (\genfrac{}{}{0ex}{}{de{g}_i}{2})$。
27. 对于一个无向图，设 $f_u$ 为距离点 $u$ 最远的点的距离，则该图的直径为 $s=\underset{1\le u\le n}{max}{f}_u$，有结论为 $\lceil \frac{s}{2}\rceil \le f_u\le s$。类似 trick 的题目：CF1804F。
28. 一个无向图的所有环的公共节点只有至多两个。
29. 当每个点最多只有两条出边时，考虑三角剖分图。
30. 一个二分图的所有的最大匹配方案中必然有一个公共点，即删去这个点后最大匹配数减一。
31. 竞赛图缩点后是一条链。
32. 如果我们知道竞赛图每个点的入度 or 出度，则可以确定整张竞赛图的相对顺序。

ds

1. 有关于维护下标大小信息的合并，可以借助线段树上本身的左儿子下标小于右儿子下标简单处理。
2. 维护一个三元组 $(a,b,c)$ 的信息，看看是否能拆成 $(a,b)+c$ 的形式更易维护。
3. 树剖的边转点：钦定边 $(u,v)$ 的编号为 $max(df{n}_u,df{n}_v)$，进行修改/查询链 $(u,v)$ 时等价于查询 $\{\text{path}(u,v)\}-\{\mathrm{lca}(u,v)\}$。
4. 从作用层面上来讲，主席树 $=$ 不带修树套树。当一道题树套树意义下做法显然时，考虑将其变为主席树。
5. 对于维护 $i\in [l,r],v\in [x,inf]$ 一类的查询时，对第二位排序，维护第一维即可。
6. 一些修改较为复杂时，不妨采用矩阵维护。类似 tirck 的题目：LOJ2980。
7. 对于树上，链加单点求和 $=$ 单点加，子树求和；单点加链求和 $=$ 子树加，单点求和。可以把暴力树剖的 ${\log }^2$ 优化到 $\log$。
8. 遇到“出现次数”，考虑根号分治。
9. 数颜色数往往采用记录 $pre$ 然后数点的方法。
10. 当遇到删除操作时，考虑线段树分治。
11. 有关于最值/比较大小的问题（包括但不限于 ds 和 dp 问题），考虑丢到笛卡尔树上去考虑。
12. 对于查询第 $k$ 小的问题，如果存在简单的 $\mathrm{\Theta }(k\text{polylog}(n))$ 做法，但 $k$ 很大时，考虑随机二分。类似 trick 的题目：P5984。
13. 对于树上，如果要快速统计某个点所有儿子的信息，考虑开一个数据结构保存其所有轻儿子信息，则在树剖时，由于不会经过超过 $\mathrm{\Theta }(\log n)$ 跳重链，所以修改轻儿子的复杂度可以接受；对于重儿子，再开一个数据结构维护所有点的信息，在查询时把他和轻儿子丢到一个数据结构里计算即可。类似 trick 的题目：CF1172E，P5314。
14. 当一些东西和为定值时，考虑对其进行根号分治。
15. 在有向树上通过 toposort 做线段树合并复杂度是对的。例子：P8959。

dp

1. 如果遇到询问形如：规定某个物品不能用之类的，可以考虑前后缀分别 dp，然后询问时在中间再做一次 dp（其实与杂项中的第 $3$ 条类似）。
2. 数位 dp 时可以考虑在数位上做区间 dp（普通数位 dp 本质上是在数位上做线性 dp）。类似 trick 的题目：P9129。
3. 遇到“强制选”时，同样考虑前后缀 dp。类似 trick 的题目：P1973。
4. 对于 dp 题，思考：哪些状态是有用的。
5. 当优化 dp 状态却无从下手时，考虑 dp 方程的单调性。
6. 当 dp 转移方程和因数/倍数关系有关时，考虑将其写成迪利克雷卷积的形式，观察其积性/进行反演。

杂项

1. 如果某道题直接 dp/贪心比较困难，考虑是否可以进行反悔贪心。
2. 遇到比较两集合、两序列的情况时，考虑哈希；如果需要动态维护哈希值，那么需要构造出一种优秀的哈希函数。类似 trick 的题目：P5278。
3. 对于类似于“删除”一类等操作直接做较为困难时（如模非素数意义下的除法、线性基相减）等，考虑维护前/后缀的值。类似 trick 的题目：CF543D。
4. 看到一个变换 $x\leftarrow x-y$，考虑是否能拓展到 $x\leftarrow xmody$。
5. 根号分治是一种很重要的复杂度分析方法。
6. A296010，看到 $n=50$ 考虑复杂度是否与拆分数相关。
7. 考虑转换：存在一个满足 $\iff \text{not}$ 所有都不满足。
8. $|a-b|=max\{b-a,a-b\}$。
9. $\text{popcount}(x\oplus y)\equiv \text{popcount}(x)+\text{popcount}(y)(\mathrm{mod}2)$。
10. 字符串题考虑：翻转、拼接、插入。
11. 当模数不为素数时，考虑质因数分解然后最终用 crt 合并答案。类似 trick 的题目：P2480。
12. 遇到 $\prod$，考虑转换成 $\sum$ 和乘方处理。类似 trick 的题目：CF1106F。
13. 对于任意正整数 $x\ne y$ 和 $b$，必然存在一个正整数 $k$ 使得 $x$ 和 $y$ 的 $b$ 进制数在第 $k$ 位不同。类似 trick 的题目：P5304。
14. 对于形如“选择若干个数满足什么条件，且使得选择方案字典序最小”的一类问题，考虑从小到大枚举数，判断是否可以加入。
15. 遇到 $amodb$，考虑将其分为 $\lfloor \frac{a}{b}\rfloor$ 个周期性问题。
16. 对于杂项 $8$ 的拓展：$\sum _{i=1}^n|a_i-b_i|=\underset{S\subseteq \{1,2,\cdots ,n\}}{max}\{\sum _{i=1}^n(-1{)}^{[i\in S]}(a_i-b_i)\}$。类似 trick 的题目：CF1093G。
17. 对于“在一个集合里随意交换”，往往将其抽象成一个置换环。类似 tirck 的题目：P8189。
18. 对于线段上点的运动往往转换成在二维平面上折线的轨迹。类似 trick 的题目：P9018。
19. 对于“给定一些数量关系判断是否发生矛盾/求值”一类的题目，考虑将一类关系看出修改，一类关系看出询问。
20. 对于求一个 $01$ 序列的最长不下降子序列：将 $0$ 置为 $1$，$1$ 置为 $-1$，则等价于求新序列的最大前缀和。
21. 最大子段和性质：不存在一个前缀或一个后缀为负；不存在一个紧贴在其之前或紧贴在其之后的字段为正。类似 trick 的题目：P5369。
22. 当恰好 $k$ 个不好算时，考虑转换成钦定 $k$ 个，然后容斥；特殊地，例如求 $gcd=k$ 的个数，不妨转换成 $gcd$ 为 $k$ 的倍数
23. $\log ab=\log a+\log b$。类似 trick 的题目：P4926。
24. $[l,r]=[1,r]-[1,l-1]$。类似 trick 的题目：P9753。
25. $a\equiv amodkp(\mathrm{mod}p)$。类似 trick 的题目：CF55D，CF1359E。
26. 看到平均数 $=x$，考虑将所有数都减掉 $x$，那么就变成了和 $=0$ 的问题。类似 trick 的题目：ARC104C。
27. 考虑几何意义。
28. $max\{a,b\}=\frac{a+b+|a-b|}{2}$，一个经典应用是 $|a-b|=2max\{a,b\}-a-b$，则 $\sum _{i=1}^n|a_i-b_i|=2\sum _{i=1}max\{a_i,b_i\}-\sum _{i=1}^n{a}_i+b_i$。
29. 当 $x$ 是偶数时，$x\oplus (x+1)=1$。类似 trick 的题目：CF1493E。
30. 异或最大/最小：考虑 01-Trie/线性基。
31. 对于排序、比较大小、交换一类的问题，往往考虑从 $01$ 序列入手，即钦定一个 $x$，记 $\ge x$ 的数为 $1$，$<x$ 的数为 $0$。
32. 对于期望 $\text{E}=\sum _{i=1}^n{p}_i\cdot i$，考虑记 $s_i=\sum _{j=i}^n{p}_j$，有 $\text{E}=\sum _{i=1}^n{s}_i$。类似 trick 得题目：CF1523E。
33. 对于令“所有数相等”一类的询问，考虑对依据题目给定的变换连边，则问题变成了求那几个数在树上的 lca。类似 trick 的题目：CF1797E。
34. $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m})\equiv 1(\mathrm{mod}2)\iff m\text{ and }n=m$。
35. 对于 $minmax(a,b)$ 或 $maxmin(a,b)$ 的形式，当随 $a$ 增大时 $b$ 不增大，找出 $a,b$ 的表达式，$a=b$ 时即为答案。
36. $\lceil \frac{\lceil \frac{a}{b}\rceil }{c}\rceil =\lceil \frac{\lfloor \frac{a-1}{b}\rfloor +1}{c}\rceil =\lfloor \frac{\lfloor \frac{a-1}{b}\rfloor +1-1}{c}\rfloor +1=\lfloor \frac{a-1}{bc}\rfloor +1$。
37. 对于一些比较奇怪的贡献（比如说 $x^k\to \text{answer}$）考虑其组合意义。
38. 把一个 $x$ 拍扁成 $f_x=\underset{x\text{ times}}{\underbrace{11\cdots 1}}00\cdots 0$，则我们有 $|x-y|=\mathrm{popcount}(f_x\mathrm{and}{f}_y)$。