bellman-ford(贝尔曼-福特)算法

Bellman-Ford算法(根据发明者 Richard Bellman 和 Lester Ford 命名)是求解单源最短路径问题的一种算法。单源点的最短路径问题是指：给定一个加权有向图G和源点s，对于图G中的任意一点v，求从s到v的最短路径。有时候这种算法也被称为 Moore-Bellman-Ford 算法，因为 Edward F. Moore zu 也为这个算法的发展做出了贡献。

与迪科斯彻算法， （另一种著名的求最短路径的算法）不同的是，在Bellman-Ford算法中，路径的权值可以为负数。 设想从我们可以从图中找到一个环路（即从v出发，经过若干个点之后又回到v）且这个环路中所有路径的权值之和为负。那么通过这个环路，环路中任意两点的最 短路径就可以无穷小下去。如果不处理这个负环路，程序就会永远运行下去。 而Bellman-Ford算法具有分辨这种负环路的能力。

算法描述 设G为加权有向图 V是所有结点的集合 E是所有路径的集合 S表示源点 n表示V中所有结点的数目 weight(u,v)表示从结点u到结点v的路径的权值。 Distanz（v）表示从源点s出发到结点v的最短路径的距离，（或者说是从s到v所有的路径中权值的最小值）。Predecessor(v)表示节点 v的父结点

在Bellman-Ford算法结束之后，可以输出，G是不是包含一个负环路。如果G不包含负环路，那么Distanz就存储了从s出发到所有结点的距离。

Bellman-Ford算法的伪代码如下：

01 for 每一个结点v 属于 V
02 Distanz(v) := 无穷大， Predecessor(v) := null
03 Distanz(s) := 0，Predecessor(s):= null;
 
04 循环 n-1 次
05     for 每一条路径 （u,v）属于 E
06         if Distanz(u) + weight(u,v) < Distanz(v) 
07         then
08            Distanz(v) := Distanz(u) + weight(u,v)
09            Predecessor(v) := u;

10 for 每一条路径 （u，v）属于 E
11     if Distanz(u) + weight(u,v) < Distanz(v) 
12     then
13       中止程序并且返回 “找到负循环”
14 返回

 

BF(G,w,s) // G = Graph, w = weight, s=source
Determine Single Source(G,s);
set Distance(s) = 0; Predecessor(s) = nil;
for each vertex v in G other than s, 
   set Distance(v) = infinity, Predecessor(v) = nil;
for i <- 1 to |V(G)| - 1 do   //|V(G)| Number of vertices in the graph
   for each edge (u,v) in G do
      if Distance(v) > Distance(u) + w(u,v) then
         set Distance(v) = Distance(u) + w(u,v), Predecessor(v) = u;  
for each edge (u,r) in G do
   if Distance(r) > Distance(u) + w(u,r);
      return false; //This means that the graph contains a cycle of negative weight 
                    //and the shortest paths are not well defined
return true; //Lengths of shortest paths are in Distance array

 

 例：V={v1,v2,v3,v4} E={(v1,v2),(v1,v3),(v2,v4),(v4,v3)} weight(v1,v2)=-1 weight(v1,v3)=3 weight(v2,v4)=3 weight(v4,v3)=-1

运行如表： D:Distanz(v)，P:Predecessor(v)

点	v1	v2	v3	v4
	D/P	D/P	D/P	D/P
初始化(01-03步)	0/null	∞/null	∞/null	∞/null
04步循环第一次	0/null	-1/v1	3/v1	∞/null
04步循环第二次	0/null	-1/v1	3/v1	2/v2
04步循环第三次	0/null	-1/v1	1/v4	2/v2