[SCOI2010]股票交易（单调队列优化dp）
[SCOI2010]股票交易
题目描述
最近lxhgww又迷上了投资股票，通过一段时间的观察和学习，他总结出了股票行情的一些规律。
通过一段时间的观察，lxhgww预测到了未来T天内某只股票的走势，第i天的股票买入价为每股APi，第i天的股票卖出价为每股BPi（数据保证对于每个i，都有APi>=BPi），但是每天不能无限制地交易，于是股票交易所规定第i天的一次买入至多只能购买ASi股，一次卖出至多只能卖出BSi股。
另外，股票交易所还制定了两个规定。为了避免大家疯狂交易，股票交易所规定在两次交易（某一天的买入或者卖出均算是一次交易）之间，至少要间隔W天，也就是说如果在第i天发生了交易，那么从第i+1天到第i+W天，均不能发生交易。同时，为了避免垄断，股票交易所还规定在任何时间，一个人的手里的股票数不能超过MaxP。
在第1天之前，lxhgww手里有一大笔钱（可以认为钱的数目无限），但是没有任何股票，当然，T天以后，lxhgww想要赚到最多的钱，聪明的程序员们，你们能帮助他吗？
输入输出格式
输入格式：
输入数据第一行包括3个整数，分别是T，MaxP，W。
接下来T行，第i行代表第i-1天的股票走势，每行4个整数，分别表示APi，BPi，ASi，BSi。
输出格式：
输出数据为一行，包括1个数字，表示lxhgww能赚到的最多的钱数。
输入输出样例
输入样例#1：
5 2 0
2 1 1 1
2 1 1 1
3 2 1 1
4 3 1 1
5 4 1 1
输出样例#1：
3
说明
对于30%的数据，0<=W<T<=50,1<=MaxP<=50
对于50%的数据，0<=W<T<=2000,1<=MaxP<=50
对于100%的数据，0<=W<T<=2000,1<=MaxP<=2000
对于所有的数据，1<=BPi<=APi<=1000,1<=ASi,BSi<=MaxP
前面的东西就不再赘述了，直接上转移方程。
状态转移方程：
1 . 凭空买
仅本情况下的状态可以直接赋值，其他状态初值为 \(-inf\)，即：
下面三种情况，分别可列三个状态转移方程：
2 . 不买也不卖
最好想也最好列转移方程的一种情况，直接由上一天转移，且拥有股票数量不变。即：
3 . 在之前的基础上买股票
这里的方程就比较复杂了，这里详细解释一下：
题目中指明说两次交易需要至少隔 \(w\) 天。也就是说，今天是第 i天交易，那么上一次交易最近是在第\(i-w-1\) 天。
可我第\(i-w-1\) 天之前也可以交易啊？为什么偏偏是那一天，而不是第\(i-w-2\)天？
回看刚刚讨论的第 2 种情况，我们已经把某一天以前的最优答案转移到了该天，所以从那一天转移，相当于从那一天包括前面任何一天开始转移，省去了大把时间。
接下来，我们已知第 \(i\)天拥有 \(j\)张股票，假设第\(i-w-1\)天拥有 \(k\)张股票。
\(k\)一定比 \(j\) 小，因为这一种情况是买股票，股票只能多。
但股票又不能买太多，限制最多为 \(as\) 张。所以 \(j - aSi\) 是底线。
继续，这次交易买了 \(j - k\)张股票，要花去\((j-k)*aPi\)元。
整理一下，转移方程为：
4 . 在之前的基础上卖股票
和上面的情况特别类似，在此简单地说一下区别。
因为是卖股票， \(k\) 这次要比 \(j\)大。但要小于等于 \(j + bSi\)。
这次交易卖了 \(k - j\)张邮票，赚得\((k - j)*bPi\)元。
整理一下，转移方程为：
这个时候发现那两种情况，实际上可以使用单调性优化。此时达到降时间复杂度的目标。
就以第 3 种情况，在之前的基础上买股票为例子吧。
再重复提一下那个转移方程：
运用乘法分配率：
既然要将状态转移给F[i,j]此时j可以从 max中提取出，此时转移方程变为：
此时，我们发现以上的转移方程符合单调性优化的条件，故可以使用单调性优化。
还有一个细节，是第 3 种情况转移应该顺序，第 4 种情况转移应该逆序，这个不难理解，先自己想想吧。
其实就是，在考虑卖股票的时候，持有的股票越多是不是当前值会越大，我们为了使队首为最优解(即最大值)，倒序即可。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
using namespace std;
int read()
{
int x=0,w=1;char ch=getchar();
while(ch>'9'||ch<'0') {if(ch=='-')w=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();
return x*w;
}
int dp[2010][2010],team1[2010],team2[2010];
struct node{
int ap,bp,as,bs;
}a[2010];
int main()
{
memset(dp,-0x7f,sizeof(dp));
int t=read(),maxx=read(),w=read();
for(int i=1;i<=t;i++)
{
a[i].ap=read();a[i].bp=read();
a[i].as=read();a[i].bs=read();
}
for(int i=1;i<=t;i++)
{
for(int j=0;j<=a[i].as;j++)
dp[i][j]=-a[i].ap*j;
for(int j=0;j<=maxx;j++)
{
dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j]);
}
if(i-w<=0) continue;
int l1=1,r1=0,l2=1,r2=0;
for(int j=0;j<=maxx;j++)
{
while(l1<=r1&&dp[i-w-1][team1[r1]]+a[i].ap*team1[r1]<=dp[i-w-1][j]+a[i].ap*j) r1--;
team1[++r1]=j;
while(l1<=r1&&j-team1[l1]>a[i].as) l1++;
if(l1<=r1)
dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-w-1][team1[l1]]-a[i].ap*(j-team1[l1]));
}
for(int j=maxx;j>=0;j--)
{
while(l2<=r2&&dp[i-w-1][team2[r2]]+a[i].bp*team2[r2]<=dp[i-w-1][j]+a[i].bp*j) r2--;
team2[++r2]=j;
while(l2<=r2&&team2[l2]-j>a[i].bs) l2++;
if(l2<=r2)
dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-w-1][team2[l2]]+a[i].bp*(team2[l2]-j));
}
/*for(int j=0;j<=maxx;j++)
{
if(j<=a[i].as)
dp[i][j]=-1*a[i].ap*j;
dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j]);
for(int k=0;k<=maxx;k++)
{
if(j>k&&j-k<=a[i].as&&i-w-1>0)
dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-w-1][k]-a[i].ap*(j-k));
else if(j<k&&k-j<=a[i].bs&&i-w-1>0)
dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-w-1][k]+a[i].bp*(k-j));
}
}*/
}
cout<<dp[t][0];
}
