赫夫蔓编码

问题：形如:abbcddadaa，这样的字符串,每个字符(a,b,c,d)用0和1组合（如0，01，10，111，001）,怎么让字符串整体编码后最短.并且没有歧异.

假如a：0 b：1 c：01 d：10，这样是有歧异的.01可以看作c ,也可以看作ab.

用空格来隔开每个字符，是个伪操作。空格也是一个符号。这样只能用1表示分割。而只有一个0来表示符号了。可以证明没有二叉树好。

联想到二叉树,假如每个根结点是0和1.那么每个叶子都不会有歧义.

不同型态的二叉树可供的选择有0,10,110,111. 或 00,01,10,11等等组合.

如何使‘abbcddadaa’用01，编码后最短呢?当然是每个字符对应的编码的长度乘出现的次数就可以了。

解答：1，无歧义：考虑树的叶子，任何叶子走过的路，每步都是和其他叶子是不同的。也就是给出一个叶子的编码，是不会有任何叶子和它的子编码一样。也就是无歧义。

2. 字符串最短，就是每个字符对应的编码的长度乘出现的次数之和。

而这就是赫夫蔓树

赫夫蔓树定义：如果每个叶子是有权重的. 那么所有叶子到根的距离乘权重之和(wpl)最小的树,就是赫夫蔓树.

构建赫夫蔓树：选择2个偏僻的字符,也就是权重最低,组成2叉树,删除 2个叶子,加入到剩下的字符中,再选择2个最偏僻的2个叶子,一直循环,以至所有字符都表示为了叶子.就是赫夫蔓树.

让他们的根做为一个新的叶子，权重为2叶之和，

为什么，公式证明是归纳+反证法。有点晦涩。

说人话：

1.假设只有2个叶子，那么2个节点立马组合成一个单节点二叉树是最小树。

2.如果有颗树是最小树，假如某个叶子Z分裂出了2个叶子，并且这2个叶子x,y的值 x+y=z ,且 x,y是新树所有叶子中比值最小。

3.我们要做的就是证明第二步操作生成的树还是最小树。

4。如果证明出来了。那么可以看出，上面的分裂操作和赫夫曼的堆积操作本质是一致的，只是方向刚好相反。也就证明了赫夫曼是正确的。

5.要证明首先有一个定理：给定的节点，组成的最小树中，肯定有个树，他的最深的叶子是2个最小值组成的。这个定理用反证法很好处理，可以优先证明这个定理。

6.现在用反证法证明第二步操作生成的树还是最小树。

T1:第二步中未分裂树

T2:第二步中分裂出x，y的树

T2':假设是分裂出x，y的最优树

T1':假设是T2'的未分裂之前的树。

反证的思路回顾下，根据已知条件，假设一个结果，推导出和已知条件矛盾，那么假设失败。

所以我们假设T2不是最优树，T2'是。最理想我们应该推出T1不是最优树，那么T2不是最优树这个假设就不成立。完结。

开始，假设T2不是最优树，T2'是,根据定理，T2'<T2 等同于 T1'+X+Y<T1+X+Y 等同于 T1'<T1

也就是说T1不是一个最小树和前提有矛盾。假设不成立。完结

赫夫蔓树的扩展：

找了个证明.没看.先放着.不过大概想下，有贪心算法的思想。权重之和(wpl)最小，那么就选2个最小的，组合，并相加，放入剩下的。再比较。又还有动态算法的思想。

定理1：哈夫曼树是最优的。

证明：用归纳法证明。

基本情况: 当 n=2 时, 哈夫曼树具有最小权重外部路径（EPW），因为树仅有二种可能，有二个叶结点的二种哈夫曼树下的EPW是相同的。
假设: 设有哈夫曼树有
推导: 令T为有n （n>=2）个叶子的哈夫曼树。不失一般性，设 w1 <= w2 <=... <=wn。令

//自设场景。
    //假设一个游戏的按键，w,a,s,d,j,k,l 的预估使用频率为8,7,5,8,40,17,15.
    //设计一个二进制编码，使得编码最短，并计算比等长，压缩率大概高多少？
    
    public static void bitCode()
    {
        operateChar wChar=new operateChar('w', 8);
        operateChar aChar=new operateChar('a', 7);
        operateChar sChar=new operateChar('s', 5);
        operateChar dChar=new operateChar('d', 8);
        operateChar jChar=new operateChar('j', 40);
        operateChar kChar=new operateChar('k', 17);
        operateChar lChar=new operateChar('l', 15);
        
        List<MyBinaryNode<operateChar>> weightList=new ArrayList<MyBinaryNode<operateChar>>();
        weightList.add(new MyBinaryNode<Test.operateChar>(wChar, null, null));
        weightList.add(new MyBinaryNode<Test.operateChar>(aChar, null, null));
        weightList.add(new MyBinaryNode<Test.operateChar>(sChar, null, null));
        weightList.add(new MyBinaryNode<Test.operateChar>(dChar, null, null));
        weightList.add(new MyBinaryNode<Test.operateChar>(jChar, null, null));
        weightList.add(new MyBinaryNode<Test.operateChar>(kChar, null, null));
        weightList.add(new MyBinaryNode<Test.operateChar>(lChar, null, null));
        
        mycompare theCompare=new mycompare();
        weightList.sort(theCompare);
        
        //create hafuman tree.
        MyBinaryTree<operateChar> theTree=new MyBinaryTree<operateChar>(null);
        MyBinaryNode<operateChar> theRoot=theTree.rootNode;
        
        while(weightList.size()>=2)
        {
            MyBinaryNode<operateChar> min1=weightList.get(0);
            MyBinaryNode<operateChar> min2=weightList.get(1);
            operateChar tempChar=new operateChar('-', min1.element.weight+min2.element.weight);
            
            MyBinaryNode<operateChar> tempRoot=new MyBinaryNode<Test.operateChar>(tempChar, min1, min2);
            
            weightList.remove(0);
            weightList.remove(0);
            weightList.add(0, tempRoot);
            weightList.sort(theCompare);
            theTree.rootNode=tempRoot;
        }
        //set code.
        setCode(theTree.rootNode, "");
        
        for(int i=0;i<tempret.size();i++)
        {
            //System.out.println(tempret.get(i).element.vv+":"+tempret.get(i).element.weight+". code:"+tempret.get(i).element.binaryCode+"\r\n");
        }
        
        
        int normalSize=0;
        int hefumanSize=0;
        
        for(int i=0;i<tempret.size();i++)
        {
            hefumanSize+=tempret.get(i).element.binaryCode.length()*tempret.get(i).element.weight;
            normalSize+=3*tempret.get(i).element.weight;
        }
        double rate=(double)hefumanSize/(double)normalSize;
        System.out.println("hefuman 压缩为原来的:"+rate);//等长的话，7个符号，最小长度是3位。
        
        //theTree.printTree(0);
    }
    
    private static List<MyBinaryNode<operateChar>> tempret=new ArrayList<MyBinaryTree.MyBinaryNode<operateChar>>();
    
    private static void setCode(MyBinaryNode<operateChar> rootnode,String code)
    {
        if(rootnode!=null)
        {
            rootnode.element.binaryCode=code;
            if(rootnode.leftNode==null && rootnode.rightNode==null)
            {
                tempret.add(rootnode);
            }
        }
        if(rootnode.leftNode!=null)
        {
            setCode(rootnode.leftNode, code+"0");
        }
        if(rootnode.rightNode!=null)
        {
            setCode(rootnode.rightNode, code+"1");
        }
        
    }

posted @ 2009-10-22 10:26 琴鸟阅读(384) 评论(0) 编辑收藏举报

会员力量，点亮园子希望

刷新页面返回顶部

琴鸟

赫夫蔓编码

公告