同余模算术中的乘法逆元

定义：

若 $a\cdot{k}\equiv 1\pmod{p}, a \perp p$, 就说 $k$ 是 $a$ 模 $p$ 的乘法逆元. 记为 $k = a^{-1}$.

我个人习惯用 $ie(a)$ 表示 $a$ 模某数的逆元. ($inverse$ $element$)

 

性质：

1. $\frac{a}{b}\equiv a\cdot {b^{-1}} \pmod{p}, b \mid a.$

   证明: $\frac{a}{b} \bmod p = \frac{a}{b}\cdot b \cdot b^(-1) \bmod p$, 化简得 $\frac{a}{b} mod p = a\cdot b^(-1) \bmod p$.

    

2. $ie(x)$ 是积性函数

   证明: 设 $x$ 是 $a$ 关于 $p$ 的逆元, $y$ 是 $b$ 关于 $p$ 的逆元, 即 $xa \bmod p = yb \bmod p = 1$, 则

   $xayb \equiv 1 \pmod p$

   $(ab)\cdot (xy) \bmod p = 1$

   即 $xy$ 是 $ab$ 关于模 $p$ 的逆元, 即 $ie(ab) = xy = ie(a)\cdot ie(b)$.

    

3. $a^{-1} = a^{p-2}$

   证明: 先证明 $a^(p-1) \equiv 1 \pmod p$.

   首先, $a, 2a, 3a, ..., (p-1)a$，这些数 $\bmod p$ 的值互不相同.

   用反证法可以证明: 假设 $i\cdot a\equiv j\cdot a \pmod p (1 \leq i, j \leq p)$, 设 $i \geq j$, 则 $(i-j)\cdot a \bmod p = 0$, 由于 $a$ 与 $p$ 互质, 可以得到 $i-j$ 是 $p$ 的倍数, 又 $i-j < p$, 矛盾, 所以假设不成立.

   由上述结论可知, $a, 2a, 3a, ..., (p-1)a \bmod p$ 的值与 $0, 1, 2, ..., p-1$ 一一对应(不一定按顺序对应), 将这些数相乘可以得到 $(p-1)!\cdot a^{p-1} \equiv {(p-1)!} \pmod p$, 两边消去 ${(p-1)!}$, 得到 $a^{p-1} \equiv 1 \pmod p$.

   又 $a^{p-1} = a \cdot a^{p-2}$, 所以 $a \cdot a^{p-2} \equiv a\cdot a^{-1} \pmod p$，即 $a^{-1}=a^{p-2}$.

 

应用：

见 http://www.cnblogs.com/lsdsjy/p/3920528.html Prime 一题。