用矩阵乘法优化递推

（有关矩阵乘法的基本规则请自行搜索）

引例：求斐波那契数列的第 n 项 mod 1000000007 的值，n <= 10¹⁸。

分析：斐波那契数列的递推式为 f(n) = f(n-1)+f(n-2)，直接循环求出 f(n) 的时间复杂度是 O(n)，对于题目中的数据范围显然无法承受。很明显我们需要对数级别的算法。

由于 f(n) = 1*f(n-1) + 1*f(n-2) 这样的形式很类似于矩阵的乘法，所以我们可以先把这个问题复杂化一下，将递推求解 f(n) 与 f(n-1) 的过程看作是某两个矩阵相乘的结果，式子如下：

[ f(n-2), f(n-1) ]

*

[ 0, 1 ]

[ 1, 1 ]

=

[ f(n-1), f(n-2)+f(n-1)=f(n) ]

所以我们只要不断地乘以上面式子中的第二个矩阵（也就是第二个矩阵的幂）就能够不断递推得到 f(n)。但是这样于解题没有丝毫益处，反而使得常数变得更大（矩阵乘法的复杂度为立方级别）。所以我们就要利用矩阵乘法的一条重要性质：结合律。即矩阵 (A*B)*C = A*(B*C)，证明过程可参见 2008 年国家集训队俞华程的论文。

有了结合律我们就可以用快速幂计算矩阵的幂，问题的复杂度顺利降到了 O(logn)。

 

例：Sam 数

Sam 数是指相邻的两位数字相差不超过 2 的数。求长度为 n 的 Sam 数有多少个。输出对 1000000007 取余后的结果。n <= 10^18。

分析：这个数据范围很吓人，所以必须要 O(logn) 的算法。

首先，递推式很明显：

用 f(i, j) 表示第 j 位为 i 时总的个数（先不考虑各种特殊情况），则

f(i, j) = f(i-2, j-1) + f(i-1, j-1) + f(i, j-1) + f(i+1, j-1) + f(i+2, j-1)

我们考虑这样一个矩阵 A：

[ 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 ]

这个 1*10 矩阵表示当第一位为 i 且一共只有 1 位时的方案数。

考虑另一个矩阵 B：

这个矩阵的第 i 行 第 j 列 表示当某一位为 j，相邻一位取 i 时的方案数。

我们将矩阵 A 与 B 相乘一次，可以得到一个 1*10 的矩阵，很明显，这个矩阵的第 i 个元素的值表示当第一位为 i 且一共有 2 位时的方案数，那么矩阵的元素和即 n=2 时的结果。

同理，将 A 不断地与 B 相乘，对于 n，最终得到的矩阵为 A * (B ^ n-1) 的结果，这个矩阵的元素和即最终答案。注意 n=1 的时候特判，这时 0 也算一个方案，所以答案为 10。