树型动态规划练习总结

类型一、多叉树转二叉树进行资源分配

 

例如：

* 例1. 选课：每门课可能有一门先选课，即某些课必须在另外的某节课被选之后才能选，每门课能得的学分不同，求最大学分。

* 例2. 通向自由的钥匙：可以从一个房间通向另外多个房间，通过每个房间所需的花费不同，得到的价值也不同，用最小花费获得最大价值。

 

这种题目的特点是需要在多叉树上进行资源的分配，对不同的子树分配不同的资源，以求最大价值。可以直接在多叉树上用背包的方式求解，但是更常用的方法是用左孩子右兄弟表示法转化为二叉树。

转化之后的通用状态转移方程：

用 f(i,j) 表示将总量为 j 的资源分配给以 i 为根节点的子树，则

f(i, j) = max{ f(i.left, k) + f(i.right, j-cost(i)-k) + value(i), f(i.right, j) }，其中 k∈(0, j-cost(i))

解释一下上面的方程。对于每个节点 i 都有两种决策：

1. 在节点 i 消耗资源并获得相应价值，然后在节点 i 的子节点和兄弟节点中进行决策；

2. 忽略节点 i ，在 i 的兄弟节点（i.right）中进行决策。

以上两道例题的状态转移方程写法都与这种通用写法类似。

 

类型二、一个节点的不同状态

（这种类型不知道怎么叫）

例如：

* 例1. 警卫安排：在一个节点上安排警卫可以保证与其相邻的节点的安全，每个节点安排警卫的代价不同，在一棵树上用最小代价保证整棵树的安全。

* 例2. 没有上司的晚会：职员和他的直接上司不会同时出现在晚会，每个职员在晚会上的快乐程度不同，求晚会的最大快乐程度。

 

这种题目的特点是每个节点有各自不同的状态，如警卫安排中每个节点有三种状态：1. 自己设有警卫；2. 父节点设有警卫；3. 子节点设有警卫。例2中每个节点（职员）有两种状态：1. 参加；2. 不参加。

对每个节点的每个状态进行转移即可。

如例2：

用 f(i, 0) 表示 i 不参加晚会，用 f(i, 1) 表示 i 参加晚会，则

f(i, 0) = sum{ max{ f(j, 0), f(j, 1) } }

f(i, 1) = sum{ max{ f(j, 0) } }

（j 是 i 的子节点）

解释一下上面的两个方程：

当 i 参加晚会时，i 的下属必然不参加晚会；

当 i 不参加晚会时，i 的下属可以参加晚会也可以不参加晚会。

例1类似。

 

类型三、二叉树上的资源分配

是类型一的简化版，题目的模型即二叉树，不用进行转换就可以直接求解。