Chapter 1: An Overview

Energy and power

Total energy & average power

Infinite time:

Infinite/Finite-energy/power signal.

Exponential and Sinusoidal Signals

$x(t) = e^{j\omega_0 t}$ 的基波周期 (fundamental frequency) $T_0 = \dfrac{2\pi}{\omega_0}$ ， $\omega_0$ 是基波频率。

对于离散信号 $x[n] = e^{j\omega_0 n}$ ：

• $e^{j(\omega_0 + 2\pi)n} = e^{j\omega_0 n}$ 是相同信号。
  • 只考虑频率为 $0 \leq \omega_0 < 2\pi$ or $-\pi < \omega_0 \leq \pi$
• $0 \leq \omega_0 < 2\pi$，振荡速率 (oscillation rate) 先快后慢，$\omega_0 = \pi$ 时最大，信号为 $(-1)^n$ 。
• 周期性：需要满足 $\dfrac{\omega_0}{2\pi} = \dfrac{m}{N}$ 为有理数，若 $\gcd(m,N) = 1$，则 $N = m\dfrac{2\pi}{\omega_0}$ 为该信号的基波周期，$\dfrac{\omega_0}{m}$ 为基波频率。

一组信号 $\phi_k[n] = e^{j\frac{2\pi}{N}k\cdot n}$ 只有 $N$ 个不同的信号（离散傅里叶变换时用得到）。

The Unit Impulse and Unit Step Functions

$\delta(t)$ 单位脉冲信号 Unit impulse，$u(t)$ 单位阶跃信号 Unit step 。

• Relationship

• Sampling property

Basic System Properties

System with and without memory 记忆性

System without memory: Output is dependent only on the current input.

输出的 $y[n]$ 只与 $x[n]$ 有关。

Invertibility and inverse system 可逆性

Invertible : Distinct inputs lead to distinct outputs.

对 $y[n] \to x[n]$ 存在逆系统 (inverse system) $y[n] \to x[n]$ 。

Causality 因果性

Causal: the output at any time depends only on the inputs at the
present time and in the past.

输出的 $y[n]$ 只与 $x[k], k\leq n$ 有关。

Stability 稳定性

Formally: bounded input leads to bounded output.

有界输入 $x[n] \in [a,b]$ 产生有界输出 $y[n] \in [a',b']$ 。

Time Invariance 时不变性

Time invariant: a time shift in the input signal results in an identical time shift in the output signal.

对任意 $x[t]$ 与 $t_0$ ， $x[t] \to y[t] \implies x[t-t_0] \to y[t-t_0]$ 。

不能有时变增益与时间伸缩相关操作。

Linearity 线性性

Linearity: Superposition property (additivity and homogeneity)

对任意 $x[t]$ 与 $a,b\in \mathbb{C}$ ， $x_1[t] \to y_1[t] \land x_2[t] \to y_2[t]\implies a x_1[t] + b x_2[t] \to a y_1[t] + b y_2[t]$ 。

Chapter 2: Linear Time-Invariant Systems