abc391 题解

切了 A~F，但是涨不了多少分，不开心。

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D - Gravity：

考虑维护每一排的元素什么时候被消除，我们还需要维护每一个滑块什么时候到底，递推维护即可。

E - Hierarchical Majority Vote：

爆搜即可。

F - K-th Largest Triplet：

将 \(a,b,c\) 从小到大排序，在优先队列（或者说是 set）里维护 \((i,j,k)\)，转移可以转移到 \((i+1,j,k)\)，\((i,j+1,k)\) 和 \((i,j,k+1)\)，转移 \(k\) 次即为第 \(k\) 大。

G - Many LCS：

看到 \(n,m\) 都很小，考虑最暴力的 dp。

回顾一下 LCP 怎么求，设 \(f_{i,j}\) 为匹配到 \(T\) 的第 \(i\) 位和 \(S\) 的第 \(j\) 位的最长公共子序列，转移式为：

\[\begin{gathered} {f_{0,0}=f_{1,0}=f_{0,1}=0}\\ {f_{i,j}\gets f_{i-1,j}}\\ f_{i,j}\gets f_{i,j-1}\\ \text{if}\ T[i] = S[j]\ \text{then}\ f_{i,j}\gets f_{i-1,j-1}+1 \end{gathered} \]

那么答案就是 \(f_{m,n}\)。

我们可以在记方案数的 dp 状态里加上 \(f\)，我们设 \(g_{i,f}\) 表示匹配到 \(T\) 的第 \(i\) 位时，数组 \(f_i\) 为 \(f\) 的方案数。这个状态的转移是简单的，我们枚举 \(T\) 的第 \(i\) 位选什么，然后从 \(f_{i-1}\) 更新到 \(f_i\) 就可以转移了。

但是现在的问题就是我们无法在 dp 数组的状态里加入 \(f\) 这一维度，因为它实在是太大了。

我们仔细观察 \(f\) 的转移，我们可以发现它的一些性质。对于固定的 \(i\) 都有：

• \(f_{i,0}=0\)。
• \(f_{i,j}\le f_{i,j+1}\le f_{i,j}+1\)。

第二个性质让我们发现 \(f_i\) 相邻两项的差不超过 \(1\)，这非常棒，这说明了 \(f\) 的差分数组只可能有 \(2^n\) 个，那么 \(f\) 也只可能有 \(2^n\) 个，所以我们可以在 \(g_{i,f}\) 中将 \(f\) 改存为 \(f\) 的差分数组，并将其压缩成一个二进制数，这样的复杂度就是对的了。时间复杂度：\(\mathcal{O}(nm2^n|\sum|)\)（当然我们也可以通过预处理做到 \(\mathcal{O}(m2^n|\sum|)\)），空间复杂度：\(\mathcal{O}(m2^n)\)。

这种 dp 我们把它称为 dp 套 dp。