群论

群的定义：

定义：

若 \(G\) 是一个集合，\(\cdot\) 是 \(G\) 上的一个二元运算，如果它满足下面三个性质，则称 \((G,\cdot)\) 是一个群：

1. 结合律：对于任意的 \(a,b,c\in G\)，有 \((a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)\)；
2. 单位元：存在唯一的 \(e\in G\)，对于任意的 \(a\in G\)，都有 \(a\cdot e=e\cdot a=a\)；
3. 有逆元：对于任意的 \(a\in G\)，有且仅有一个与之对应的 \(a^{-1}\in G\) 使得 \(a^{-1}\cdot a=a\cdot a^{-1}=e\)。

如果只满足 \(1\)，则称 \((G,\cdot)\) 是半群；如果满足 \(1,2\)，则称 \((G,\cdot)\) 是幺半群。

我们称集合 \(G\) 的大小是群 \((G,\cdot)\) 的阶，如果 \(|G|=\infty\)，则称 \(G\) 是无限群，否则称其为有限群。

注意：

• 集合上的二元运算已经包括了封闭性，即：对于任意的 \(a,b\in G\)，有 \(a\cdot b\in G\)。
• 当我们不会引起混淆时，我们会把 \((G,\cdot)\) 写作 \(G\)，把 \(a\cdot b\) 写作 \(ab\)。
• 群的运算不一定满足交换律，即并不一定有：对于任意的 \(a,b\in G\)，\(ab=ba\)（这是新手常犯的错误）。我们称群中所有元素满足交换律的群为交换群或者 Abel 群。

群的例子：

• 所有整数在加法运算下构成一个群，即 \((\mathbb{Z},+)\) 是一个群。
• 所有非零实数在乘法运算下构成一个群，即 \((\mathbb{R^\times},\times)\) 是一个群。（想想为什么要去掉 \(0\)）
• 所有在 \([0,2^n)\) 中的整数，在异或运算下构成一个群。
• 对于有限集 \(X\)，其到自身的所有双射在符合运算下构成一个群，我们将其称为 \(X\) 的对称群，记作 \(\operatorname{Sym} X\)。特别的，当 \(X=\{1,2,\cdots,n\}\) 时我们及其对称群为 \(S_n\)。（我们可以算出 \(|S_n|=n!\)）
• 考虑 \(n\) 的完全剩余系，它们在模 \(n\) 加法下构成了一个群，记作 \(\mathbb{Z}_n\) 或 \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\)。
• 考虑 \(n\) 的简化剩余系，它们在模 \(n\) 乘法下构成了一个群，记作 \(\mathbb{Z}_n^{\times}\) 或 \(\mathbb{Z}^{\times}/(n\mathbb{Z})^{\times}\)。
• 对于一个几何物体，所有能使其与原先重合的空间变换构成了一个群，称为这个几何体的对称群. 比如正三角形有 \(3\) 种不同的旋转和 \(3\) 种不同的对称，共六种空间变换可以使其与原先重合。记正 \(n\) 边形的对称群为 \(D_n\)，它共有 \(2n\) 个元素。
• 所有 \(n\) 阶实矩阵在矩阵乘法运算下构成一个群，记做 \(\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})\)。
• 如果 \((G,\cdot)\) 和 \((H,\circ)\) 是两个群，在笛卡尔积 \(G\times H\) 上定义运算 \((g_1,h_1)\ast(g_2,h_2)=(g_1\cdot g_2,h_1\circ h_2)\)，则 \(G\times H\) 在运算 \(\ast\) 下构成群，这个群成为 \(G\) 和 \(H\) 的直积群。

请读者自行思考上述例子为什么是群。

不是群的例子：

• 所有自然数在加法下不构成群。
• 所有实数在乘法运算下不构成群。
• 考虑集合 \(T_n=\{1,2,\cdots,n\}\)，那么 \(T_n\) 到自己的映射在符合运算下不构成群。
• \(n\) 的完全剩余系在模 \(n\) 乘法下不构成群。
• 所有 \(n\) 阶实矩阵在矩阵乘法运算下不构成群。

请读者自行思考上述例子为什么不是群。