一些简单的偏序问题
首先，你要会二维偏序（最长上升子序列），这样就可以了（三维偏序等不需要）。
这里引入一个重要的关于偏序的定理：狄尔沃斯（Dilworth）定理。
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偏序：对于一个集合 \(S\)，偏序是它上面的一个二元关系 \(\preceq\)，满足自反性 \(\forall a\in S,a\preceq a\)，传递性 \(\forall a,b,c\in S(a\preceq b\wedge b⪯c)\Longrightarrow a\preceq c\)，以及反对称性 \(\forall a,b\in S(a\preceq b\wedge b\preceq a)\Longrightarrow a=b\)。
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链：对于集合 \(S\) 的子集 \(T\)，如果 \(T\) 中任意两个元素均可比（即 \(\forall a,b\in T,a\preceq b\vee b\preceq a\)），则称 \(T\) 为链，称 \(|T|\) 为链的长度。
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反链：对于集合 \(S\) 的子集 \(T\)，如果 \(T\) 中任意两个元素均不可比（即 \(\forall a,b\in T,a\not\preceq b\wedge b\not\preceq a\)），则称 \(T\) 为反链，称 \(|T|\) 为反链的长度。
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最小链/反链划分：将 \(S\) 划分为最少的集合 \(T_1,T_2,\cdots,T_k\)，使得所有 \(T_i\) 均为链/反链，这个链/反链划分的大小为 \(k\)。
狄尔沃斯定理的叙述为：对于任意偏序集 \(S\)，最长反链长度等于最小链划分，最长链长度等于最小反链划分（证明不在此赘述，如有需要请自行查找资料）。
这个定理很抽象，我们来看一个简单一点的例子。
给定一个长度为 \(n\) 的序列 \(a\)，需要你求出其最长不上升子序列长度，以及最少能够划分成多少个不上升子序列（\(1\le n\le 10^5\)）。
第一问很好做，对于第二问，考虑狄尔沃斯定理，一个很常见的手法就是将一个序列转化为点对 \((i,a_i)\)，再定义偏序关系 \((x_1,y_1)\preceq (x_2,y_2)\Longleftrightarrow x_1\le x_2\;\wedge y_1\ge y_2\) 定义在集合 \(S=\{(i,a_i)\}(1\le i\le n)\)，显然这个偏序关系满足自反性，也满足传递性和反对称性，所以这种偏序关系是合法。
容易发现这种偏序关系中的链代表一个不上升子序列，反链代表一个上升子序列。狄尔沃斯定理告诉我们，最长链长度等于最小反链划分，最小反链划分就是第二问的答案，最长链的长度就是最长上升子序列的长度，那么第二问的答案就是最长上升子序列的长度。
是不是对狄尔沃斯定理有了一定的了解，再来看一道题。
现有一个 \(n\times m\) 的网格图，\((i,j)\) 网格上有 \(a_{i,j}\in[0,10^6]\) 个财宝，你可以从 \((1,1)\) 走到 \((n,m)\)，每一次走可以将路径上的每一个点的财报数量减一（若是负数则不变），求你最少需要走多少次，才能将网格图上的所有财宝捡完。
这是一道最小链覆盖问题，考虑使用狄尔沃斯定理，我们需要定义一种偏序关系使得这种偏序关系中的链是 \((1,1)\) 到 \((n,m)\) 的一条路径，且偏序关系是合法的。
由于一条从 \((1,1)\) 到 \((n,m)\) 的一条路径，那么路径中的每一个点的横坐标与纵坐标都单调不降，所以考虑偏序关系 \((x_1,y_1)\preceq (x_2,y_2)\Longleftrightarrow x_1\le x_2\;\wedge y_1\le y_2\) 定义在可重集合 \(S\)，\(S\) 中包含 \(a_{i,j}\) 个 \((i,j)\)，容易证明这样的偏序关系是合法的。由于这种偏序关系的自反性，所以链并不是每次取一个财宝，而是可以取多个，这样与题意不符，需要另找偏序关系使其满足每一个元素都不重复。
定义这样一个偏序关系 \((x_1,y_1)\preceq (x_2,y_2)\Longleftrightarrow x_1\le x_2\;\wedge y_1\le y_2\;\wedge (x_1,y_1)\neq(x_2,y_2)\)，其定义在集合 \(S\) 中，\(S\) 包含 \(a_{i,j}\) 个 \((i,j,k)(k\in[1,a_{i,j}])\)，但是这样不满足自反性，所以将其改成 \((x_1,y_1,z_1)\preceq (x_2,y_2,z_2)\Longleftrightarrow (x_1,y_1,z_1)=(x_2,y_2,z_2)\vee(x_1\le x_2\;\wedge y_1\le y_2\;\wedge (x_1,y_1)\neq(x_2,y_2))\)（越来越抽象），这样的偏序关系既合法，又符合本题中的链。
由于最小链覆盖等于最长反链长度，所以考虑反链是什么。如果两个元素 \((x_1,y_1,z_1)\) 与 \((x_2,y_2,z_2)\)（不妨设 \(x_1\le x_2\)）不可比，那么 \((x_1,y_1,z_1)\) 一定不等于 \((x_2,y_2,z_2)\)，其次要满足 \(y_1>y_2\)，而且可以重复选择 \((x,y,a)\) 和 \((x,y,b)\)，反链用文字表述为：从左下角往右上角走，保证路径中的任意点不相邻，且路径上的点的行数单调递减，列数单调递增，反链的长度即为路径上所有点的财宝数和。
接下来的事情就简单了，我们可以用 dp 解决。设 \(f_{i,j}\) 表示选到 \((i,j)\) 的最大链长，那么就有转移式：
可以从不可比的元素中转移并加上该权值，也可以不加该权值从任何地方转移。
显然 \(\displaystyle\max_{k<i,l<j}f_{k,l}=f_{i-1,j-1},\max_{k\le i,l\le j,(k,l)\neq(i,j)}f_{k,l}=\max\{f_{i-1,j},f_{i,j-1}\}\)，所以最终的转移式为：
（其实可以直接从这里看，也很好理解）
这题就做完了。
定义一个序列长度为 \(n\) 的序列 \(a\) 对应一个图 \(G\) 如下生成：
- \(G\) 有 \(n\) 个点；
- 如果 \(i,j\) 满足 \(i<j\wedge a_i>a_j\)，则 \(G\) 中有 \(i\leftrightarrow j\) 的无向边。
如果 \(G\) 是二分图，称 \(a\) 是 bipartite array。
给定一个长度为 \(n\) 的排列 \(a\)，判断能否通过将一些数改成其相反数而使得排列变为 bipartite array。如果可以，输出方案。
