CSP-S 2024 T3 染色 题解

一道自认为特别好的 dp 题，虽然水，但是感觉很适合刚学 dp 的人做的一道题。

题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P11233。

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考虑 dfs 暴力，枚举每一个位置的颜色，记录当前位置上一个的红色和蓝色的数的值，在中途统计答案。时间复杂度：$O(2^n)$。

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考虑将 dfs 暴力转化为 dp，将 dfs 中记录的状态转化为 $f_{i,j,k}$，表示选到第 $i$ 个，从第 $i$ 个数起，从右往左第一个红色数为 $j$，第一个蓝色数为 $k$ 的最大代价，转移和 dfs 基本一样。时间复杂度：$O(n^3)$。

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容易发现一个性质，我们没必要将 $j$ 和 $k$ 都记录下来，因为 $j$ 和 $k$ 中一定有一个为 $a_i$，这样又可以把状态设计为 $f_{i,j,0/1}$ 表示选到第 $i$ 个数，第 $i$ 个数的颜色为 $0/1$（红或蓝），上一个与第 $i$ 个数异色的数为 $j$ 的最大代价。转移方程为：

$$f_{i,j,o}\leftarrow f_{i-1,j,o}+a_i[a_i=a_{i-1}]$$

$$f_{i,a_{i-1},o}\leftarrow \underset{j}{max}\{f_{i-1,j,\mathrm{\neg }o}+j[j=a_i]\}$$

时间复杂度：$O(n^2)$。

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将第二个转移式拆分为两个：

$$f_{i,a_{i-1},o}\leftarrow \underset{j}{max}{f}_{i-1,j,\mathrm{\neg }o}$$

$$f_{i,a_{i-1},o}\leftarrow f_{i-1,a_i,1}+a_i$$

对于这三个转移式，我们首先可以将 $i$ 通过滚动数组滚掉，然后可以维护一个全局 $max$ 和一个全局加的 tag，这样就可以做到 $O(n)$ 的转移了。

时间复杂度：$O(n)$。

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代码如下：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int kMaxN = 1e6 + 5;

int T, n, maxa, a[kMaxN];
long long f[kMaxN][2], ans, g[2], h[2];

int main() {
  ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0);
  for (cin >> T; T; T--, maxa = ans = 0) {
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
      cin >> a[i], maxa = max(maxa, a[i]);
    }
    for (int i = 0; i <= maxa; i++) {
      f[i][0] = f[i][1] = -1e18;
    }
    f[0][0] = f[0][1] = g[0] = g[1] = h[0] = h[1] = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
      long long tmp[2] = {};
      for (int o = 0; o < 2; o++) {
        tmp[o] = max({f[a[i - 1]][o], g[o ^ 1] - a[i] * (a[i] == a[i - 1]), f[a[i]][o ^ 1] + a[i] - a[i] * (a[i] == a[i - 1])});
      }
      for (int o = 0; o < 2; o++) {
        h[o] += a[i] * (a[i] == a[i - 1]), g[o] = max(g[o], f[a[i - 1]][o] = tmp[o]);
      }
    }
    for (int i = 0; i <= maxa; i++) {
      ans = max(ans, max(f[i][0] + h[0], f[i][1] + h[1]));
    }
    cout << ans << '\n';
  }
  return 0;
}

水题，但是考试上没有细想，以为题目太难，直接开始打 T4 暴力，如果仔细想一下的话，肯定是能够想出来的。