abc369 题解

切了 A~F，还挺开心（但是如果上一次把 G 切了的话，我就上青了 QAQ
比赛链接：https://atcoder.jp/contests/abc369

A - 369

题意：

给定正整数 $a,b$（$1\le a,b\le 100$），请问有多少个整数 $x$ 满足 $a,b,x$ 排序后构成等差数列。

思路：

观察到 $a,b$ 范围很小，直接枚举 $x$ 即可。

代码：

https://atcoder.jp/contests/abc369/submissions/57274734

B - Piano 3

题意：

给定 2 个序列 $a,b$，序列长度分别为 $n,m$，求 $\sum _{i=2}^n|a_i-a_{i-1}|+\sum _{i=2}^m|b_i-b_{i-1}|$。

思路：

按题意模拟即可。

C - Count Arithmetic Subarrays

题意：

给定一个长度为 $n$（$1\le n\le 2\times {10}^5$）的序列 $a$，求 $a$ 有多少个子串 $b$ 满足 $b$ 升序排列且为等差数列。

思路：

容易发现一个性质：若 $a[l\dots r]$ 为等差数列，且 $a[l\dots r+1]$ 不为等差数列，那么 $a[l+1\dots r+1]$ 不为等差数列，$a[l\dots r+2]$ 也不为等差数列。

那么我们可以双指针，让 $r$ 从 $l$ 开始扩展，扩展到 $a[l\dots r]$ 为等差数列时，且 $a[l\dots r+1]$ 不为等差数列时，计算方案数为 ${\displaystyle \frac{(r-l+1)(r-l+2)}{2}}$，但是这样计算会把长度为 $1$ 的子串算重，那么可以将长度为 $1$ 的子串不在双指针中计算，那么每次计算的方案数为 ${\displaystyle \frac{(r-l)(r-l+1)}{2}}$，最后再将答案加 $n$ 即可。

代码：

https://atcoder.jp/contests/abc369/submissions/57289604

D - Bonus EXP

题意：

给定一个长度为 $n$（$1\le n\le 2\times {10}^5$）的序列 $a$，定义 $\mathrm{f}(b)=\sum _{i=1}^{|b|}{b}_i\times [(i-1)mod2+1]$。求 $a$ 的所有子序列 $b$，$\mathrm{f}(b)$ 的最大值。

思路：

选取子序列，可以想到动态规划。设 $f_{i,0/1}$ 表示选到了第 $i$ 个数，当前选到新序列中编号模 $2$ 为 $0/1$ 所得到的分数的最大值。$f_{i,0}$ 可以由 $f_{j,1}(0\le j<i)$ 转移过来，但是可以发现 $f_{i-3,1}$ 一定比 $f_{i-1,1}$ 更优，因为中间可以在插一个偶数编号。同理，$f_{i-2,1}$ 也一定比 $f_{i-4,1}$ 更优，那么 $f_{i,0}$ 只要从 $f_{i-1,1}$ 和 $f_{i-2,1}$ 转移过来即可。

代码：

https://atcoder.jp/contests/abc369/submissions/57296836

E - Sightseeing Tour

题意：

给定一张 $n$ 个点 $m$（$2\le n\le 400,n-1\le m\le 2\times {10}^5$）条边的无向带权图，图中可能会有重边，但不会有自环。给定 $T$ 次询问，每次询问给出 $k$（$1\le T\le 3000,1\le k\le 5$）条图上的边，求从 $1$ 到 $n$ 经过这 $k$ 条边的最短路。

思路：

经过这 $k$ 条边相当于每次从到达的点开始往还没经过的边的任意一个端点走，然后再走该边，这样题目就化成选边的顺序了，又观察到 $1\le k\le 5$，考虑状压 dp。

设 $f_{i,S}$ 为到达第 $i$ 个点，已经过给定边集的子集 $S$ 的最短路径（这里的 $i$ 数量很有限，只可能是给定边的端点）。

枚举集合 $S$，再枚举集合 $S$ 中的元素 $i$，设集合 $T$ 为集合 $S$ 中除去元素 $i$ 的集合，再枚举集合 $T$ 中的元素 $j$（若集合 $S$ 中只有 $1$ 个及以下的元素，那么会被预处理算出），考虑用 $f_{u_j/v_j,T}$ 转移得到 $f_{u_i/v_i,S}$，很显然有 $f_{u_i,S}\leftarrow f_{u_j,T}+d_{u_j,v_i}+w_i$（$d_{u,v}$ 表示图中 $u$ 到 $v$ 的最短路径。$v_i,v_j$ 同理转移）。

考虑初始化，$f_{u_i/v_i,\varnothing }=d_{1,u_i/v_i},f_{u_i/v_i,\{i\}}=d_{1,u_i/v_i}+w_i$。

求解 $d$ 数组可以用 floyd 求解，总时间复杂度应该是：$O(n^3+T\cdot k^2\cdot 2^k)$。

代码：

https://atcoder.jp/contests/abc369/submissions/57335439

F - Gather Coins

题意：

现在有一个 $h\times w$ 的网格，网格上有 $n$ 枚金币，第 $i$ 枚金币在网格 $(x_i,y_j)$ 处，现在你在网格 $(1,1)$ 处，你想走到网格 $(h,w)$ 处且获得最多的金币，你每次只能向下或向右走。请问你做多能获得多少金币，并输出其中的一种路径。

思路：

容易发现路径的横纵坐标是单调不减的，所以所获得到的金币的横纵坐标也都得是单调不减的，且若所获得的金币的横纵坐标都是单调不减的，那么你一定都能获取到。那么其实就是要求金币按照横坐标从小到大排序后，选取子序列最长且满足纵坐标单调不减，那么题目就转化成了二维偏序问题，可以用最长不下降子序列解决。

代码：

https://atcoder.jp/contests/abc369/submissions/57324756