【自适应辛普森】积分计算

Simpson 公式

\[\int_l^rf(x)dx\approx \frac{r-l}{6}[f(l)+4f(\frac{l+r}{2})+f(r)] \]

Simpson 公式将 \((l,f(l)),(r,f(r)),(\frac{l+r}{2},f(\frac{l+r}{2}))\) 看作一个抛物线，求得近似解

具体过程如下：
令 \(g(x)=ax^2+bx+c\) 过 \((l,f(l)),(r,f(r)),(\frac{l+r}{2},f(\frac{l+r}{2}))\) 三点
积分求得

\[G(x)=\int_0^xg(x)dx= \frac{1}{3}ax^3+\frac{1}{2}bx^2+cx+d \]

那么有

\[\begin{eqnarray*} &&\ \ \ \ \int_l^rg(x)dx=G(r)-G(l)\\ && = \frac{1}{3}a(r^3-l^3)+\frac{1}{2}b(r^2-l^2)+c(r-l)\\ && = \frac{r-l}{6}[2a(l^2+l\cdot r+r^2)+3b(l+r)+6c]\\ && = \frac{r-l}{6}\{(a\cdot l^2+b\cdot l+c)+(a\cdot r^2+b\cdot r+c)+4[a(\frac{l+r}{2})^2+b(\frac{l+r}{2})+c]\}\\ && = \frac{r-l}{6}[g(l)+4g(\frac{l+r}{2})+g(r)] \end{eqnarray*}\]

对于一个抛物线能取到等号，而将 \(f(x)\) 在区间 \([l,r]\) 的端点和中点近似看作一个抛物线，就能取到一个近似值

double f(double x) { return ...; }
double simpson(double x) { return (r-l)*(f(l)+4*f((l+r)/2)+f(r))/6; }

自适应辛普森法

求出对区间 \([l,r]\) 使用 Simpson 公式的结果，再求出对区间 \([l,mid]\) 和 \([mid,r]\) 使用的结果之和，若两者误差在精度要求范围内，就直接返回结果，否则递归求解两个子区间

double asr(double l,double r,double ans) {
	double mid = (l+r)/2,L = simpson(l,mid),R = simpson(mid,r);
	if (fabs(L+R-ans) <= eps) return L+R;
	return asr(l,mid,L)+asr(mid,r,R);
}