【bzoj 1010】[HNOI2008] 玩具装箱toy（斜率优化dp）

1010: [HNOI2008]玩具装箱toy

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Description

　　P教授要去看奥运，但是他舍不下他的玩具，于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压
缩，其可以将任意物品变成一堆，再放到一种特殊的一维容器中。P教授有编号为1…N的N件玩具，第i件玩具经过
压缩后变成一维长度为Ci.为了方便整理，P教授要求在一个一维容器中的玩具编号是连续的。同时如果一个一维容
器中有多个玩具，那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物，形式地说如果将第i件玩具到第j个玩具放到一
个容器中，那么容器的长度将为 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j 制作容器的费用与容器的长度有关，根据教授研究，
如果容器长度为x,其制作费用为(X-L)^2.其中L是一个常量。P教授不关心容器的数目，他可以制作出任意长度的容
器，甚至超过L。但他希望费用最小.
Input
第一行输入两个整数N，L.接下来N行输入Ci.1<=N<=50000,1<=L,Ci<=10^7
Output
输出最小费用

Sample Input
5 4
3
4
2
1
4

Sample Output
1
HINT

【题解】【斜率优化dp】
【易得dp方程：F[i]=F[j]+(sum[i]−sum[j]−L)2】
1、证明较优决策点对后续状态影响的持续性
假设在状态I处,有两个决策点J,K(J<K),且决策K比决策J好,即
DP[K]+(F[I]−F[K]−C)2<=DP[J]+(F[I]−F[J]−C)2
则,对于状态I之后的某状态T, F[T]=F[I]+V
要证 DP[K]+(F[T]−F[K]−C)2<=DP[J]+(F[T]-F[J]-C)^2
只需证
DP[K]+(F[I]+V−F[K]−C)2<=DP[J]+(F[I]+V−F[J]−C)2
只需证
DP[K]+(F[I]−F[K]−C)2+2(F[I]−F[K]−C)$∗$V+V2<=DP[J]+(F[I]−F[J]−C)2+2(F[I]−F[J]−C)$∗$V+V2
联系假设只需要证:
2(F[I]-F[K]-C)∗V<=2(F[I]-F[J]-C)∗V
即证:
F[K]>=F[J]
F[I]显然为增函数,且J<K,所以上式得证.

2.求斜率方程:一般化为左边是J，K，右边是I的形式
由DP[K]+(F[I]−F[K]−C)2<=DP[J]+(F[I]−F[J]−C)2
展开得:
DP[K]+F[I]2−2∗F[I]∗(F[K]+C)+(F[K]+C)2<=DP[J]+F[I]2−2∗F[I]∗(F[J]+C)+(F[J]+C)2
即:
DP[K]+(F[K]+C)2−DP[J]−(F[J]+C)2<=2∗F[I]∗(F[K]−F[J])
即
(DP[K]+(F[K]+C)2−DP[J]−(F[J]+C)2)/(2∗(F[K]−F[J]))<=F[I]
令
G(K,J)=DP[K]+(F[K]+C)2−DP[J]−(F[J]+C)2
S(K,J)=2∗(F[K]−F[J])
X(K,J)=G(K,J)/S(K,J)
所以斜率方程为X(K,J)<=F[I]

3.规定队列的维护规则
队首维护:
假设A,B(A<B)是队首元素,若X(B,A)<=F[I],则B比A好,删除A,否则不需维护.
队尾维护:
假设A,B,C(A<B<C)是队尾元素
a.若X(B,A)<=F[I],且X(C,B)<=F[I],则C比B好,B比A好
b.若X(B,A)<=F[I],且X(C,B)>F[I],则B比C好,B比A好,B为极大值
c.若X(B,A)>F[I],A比B好
a,c情况直接删掉B,b情况保留.b情况可改为X(B,A)<X(C,B)
（转：http://blog.sina.com.cn/s/blog_5f5353cc0100jx41.html）

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
ll f[50010],n,L,q[100010],h,t,sum[50010];

inline ll kh(int x2,int x1)
{
    ll s1=f[x2]-f[x1];
    ll s2=(sum[x2]+L)*(sum[x2]+L)-(sum[x1]+L)*(sum[x1]+L);
    ll s3=2*(sum[x2]-sum[x1]);
    ll ans=(s1+s2)/s3;
    return ans;
}

int main()
{
    int i,j;
    scanf("%lld%lld",&n,&L);
    for(i=1;i<=n;++i)
     {
        int a;
        scanf("%d",&a);
        sum[i]=sum[i-1]+a;
     }
    for(i=1;i<=n;++i) sum[i]+=i;
    L++;
    for(i=1;i<=n;++i)
     {
        while(h<t&&sum[i]>=kh(q[h+1],q[h])) h++;
        f[i]=f[q[h]]+(sum[i]-sum[q[h]]-L)*(sum[i]-sum[q[h]]-L);
        while(h<t&&kh(i,q[t])<=kh(q[t],q[t-1])) t--;
        q[++t]=i;
     }
    printf("%lld\n",f[n]);
    return 0;
}